È possibile studiare equazioni differenziali lineari e non lineari e sistemi di equazioni differenziali ordinarie (ODE), compresi modelli logistici ed equazioni di Lotka-Volterra (modelli preda-predatore). È inoltre possibile tracciare campi di pendenza e direzione con implementazioni interattive dei metodi di Eulero e di Runge-Kutta.
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Riga di introduzione ODE:
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Cursore a scorrimento per variare il coefficiente k dell'ODE |
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Campo della pendenza |
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Una curva della soluzione che passa per la condizione iniziale |
Per rappresentare graficamente un'equazione differenziale:
| 1. | Dal menu Inserisci/modifica grafico , selezionare Eq Diff. |
All'ODE viene assegnato automaticamente un identificatore, quale ad esempio “y1.”
| 2. | Passare al campo della relazione e introdurre l'espressione che definisce la relazione. Ad esempio, introdurre -y1+0.1*y1*y2. |
| 3. | Introdurre la condizione iniziale per il valore indipendente x0 e per y10. |
Nota: i valori di x0 sono comuni a tutte le ODE di un'attività, ma possono essere inseriti o modificati solo nella prima ODE.
| 4. | (Facoltativo) Per studiare più condizioni iniziali per l'ODE corrente, fare clic sul pulsante Aggiungi condizione iniziale  e introdurre le condizioni. |
| 5. | Toccare leggermente Modifica parametri  per impostare i parametri del diagramma. Selezionare un Metodo di risoluzione numerico e quindi impostare i parametri aggiuntivi. Questi parametri possono essere modificati in qualsiasi momento. |
| 6. | Fare clic su OK. |
| 7. | Per inserire ODE aggiuntive, premere la freccia in basso per visualizzare il campo di modifica ODE successivo. |
Durante lo spostamento tra le ODE definite, il grafico viene aggiornato per riflettere qualsiasi modifica. Viene rappresentata graficamente una sola soluzione dell'ODE per ogni IC (condizione iniziale) specificata per ciascuna ODE mostrata (selezionata mediante la casella di controllo).
Riepilogo delle impostazioni delle equazioni differenziali
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Metodo di soluzione |
Consente di selezionare Euler (Eulero) o Runge-Kutta come metodo di soluzione numerica. |
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Iterazioni tra passi di un grafico |
Accuratezza computazionale solo per il metodo di soluzione Eulero. Deve essere un numero intero >0. Per ripristinare il valore predefinito, selezionare la freccia in basso, quindi selezionare Predefinito. |
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Tolleranza all'errore |
Accuratezza computazionale solo per il metodo di soluzione Runge-Kutta. Deve essere un valore a virgola mobile |1×10-14. Per ripristinare il valore predefinito, selezionare la freccia in basso, quindi selezionare Predefinito. |
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Campo |
Nessuno - Non viene tracciato alcun campo. Disponibile per qualsiasi numero di ODE, ma richiesto se sono attive tre o più ODE di 1° ordine. Rappresenta graficamente una combinazione della soluzione e/o dei valori di una o più ODE (in base alle impostazioni di Assi configurate dall'utente). Pendenza - Traccia un campo che rappresenta la famiglia di soluzioni di una sola ODE del 1° ordine. Deve essere attiva esattamente una sola ODE. Imposta Assi su Predefinito (x e y). Imposta Asse orizzontale su x (la variabile indipendente). Imposta Asse verticale su y (la soluzione dell'ODE). Direzione - Rappresenta graficamente un campo nel piano della fase che rappresenta la relazione tra una soluzione e/o i valori di un sistema di due ODE di 1°-ordine (come specificato dall'impostazione Assi personalizzati). Devono essere attive esattamente due ODE. |
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Assi |
Predef. (x e y)- Traccia x sull'asse delle x e y (le soluzioni delle equazioni differenziali attive) sull'asse delle y. Personalizzato - Consente di selezionare i valori da tracciare rispettivamente sull'asse delle x e delle y. Le introduzioni valide includono:
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Inizio del grafico |
Imposta il valore della variabile indipendente in corrispondenza del quale inizia il tracciato della soluzione. |
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Fine del grafico |
Imposta il valore della variabile indipendente in corrispondenza del quale termina il tracciato della soluzione. |
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Passo del grafico |
Imposta l'incremento della variabile indipendente in corrispondenza del quale i valori vengono tracciati. |
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Risoluzione campo |
Imposta il numero di colonne di elementi di rendering del campo (segmenti di linea) utilizzate per tracciare una pendenza o un campo di direzione. È possibile modificare questo parametro solo se Campo =Direzione o Pendenza. |
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Campo direzione a x= |
Imposta il valore della variabile indipendente in corrispondenza del quale viene tracciato un campo di direzione quando si tracciano equazioni non autonome (che fanno riferimento a x). Ignorato quando si tracciano equazioni autonome. È possibile modificare questo parametro solo se Campo = Direzione . |