Page 7 - ma2c_2_klassisk_geometri

Påstående: Med figurens beteckningar ska gälla att 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴.
Bevis: Konstruera en rät linje genom A som 𝐴𝑃 𝐴𝑃 är parallell med BC.
1. Vad är klassisk geometri?
Förläng bisektrisen förbi P till
skärningspunkten D med den
parallella linjen.
Nu gäller att ∠𝐶𝑃𝑃 = ∠𝑃𝐵𝑃, alternatvinklar vid parallella linjer. Vidare är ∠𝐶𝑃𝑃 = ∠𝑃𝑃𝑃, eftersom PB är bisektris till vinkeln. Eftersom ∠𝑃𝑃𝑃 = ∠𝑃𝐵𝑃 är triangeln BAD likbent.
Alltså är AD = AB.
Vidare gäller att ∠𝑃𝐶𝑃 = ∠𝐵𝑃𝑃, alternatvinklar vid parallella linjer.
Då är samtliga vinklar i triangel BPC samma som i triangel ADP.
Trianglarna BPC och ADP är alltså likformiga.
Då gäller att 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴, men AD = AB enligt ovan. 𝐴𝑃 𝑃𝑃 𝐴𝑃𝑃𝑃
Alltså gäller att 𝑃𝐶 = 𝑃𝐶. VSB.
2001 Triangeln ABC i figuren är likbent. Hur stora är vinklarna i triangeln?
Uppmjukningsuppgifter
2002 Studera triangeln ABC som finns ritad intill.
Bestäm samtliga vinklar i triangeln!
5