Page 43 - ma2c_2_klassisk_geometri

4. Analytisk geometri
Exempel 8
En ellips har ekvationen 2𝑥2 + 3𝑦2 = 6. Var skär denna ellips koordinataxlarna och vilken är dess excentricitet?
22
Ekvationen är 2𝑥 + 3𝑦 = 6. Dividera båda leden med 6 för att få
Lösning:
konstanten 1 i högerledet.
Detta ger 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Genom att jämföra med standardformen 𝑥2 + 𝑦2 = 1
3 2 𝑎2 𝑏2 framgår att 𝑎2 = 3 och 𝑏2 = 2. Eftersom a och b är definierade som positiva tal
ärdå𝑎=√3 och𝑏=√2.
Ellipsen skär x-axeln i punkterna (√3; 0) och (−√3; 0) och y-axeln i (0 ; √2) och i
(0;−√2).Excentricitetenär𝑒=𝑜= 𝑎2−𝑏2 =√3−2= 1 =√3≈0,58. Resultat: 𝑎 𝑎 √3 √3 3
Se ovan.
22
2049 Bestäm stor- och lillaxeln till ellipsen 5𝑥 + 3𝑦 = 15.
Uppgifter
Bestäm ellipsens excentricitet.
2050 En rektangel vars sidor är parallella med koordinataxlarna är omskriven kring
ellipsen 4𝑥2 + 3𝑦2 = 12. Bestäm koordinaterna för rektangelns hörn. 2051 Bestäm skärningspunkterna mellan den räta linjen 𝑦 = 𝑥 + 1 och ellipsen
9𝑥2 + 5𝑦2 = 36.
41