Page 41 - ma2c_2_klassisk_geometri

4. Analytisk geometri
Aktivitet KG 5: Konstruktion av en ellips
Du kan göra en simulering av häftstiftsexperimentet med TI-NspireTM så här: Starta en grafapplikation och placera en punkt på x-axeln ett stycke från origo. Spegla punkten i y-axeln. De här båda punkterna kallas ellipsens brännpunkter eller fokus. Placera en punkt, P, någonstans i koordinatsystemet.
Använd längdmätningsverktyget och mät avstånden till båda fokus. Skriv ett uttryck, förslagsvis 𝑝 + 𝑞, med textverktyget.
Använd beräkningsverktyget till att beräkna summan 𝑝 + 𝑞.
Peka på de båda mätvärdena du bestämde med längdmätningarna. Högerklicka på den beräknade summan
och lås mätvärdet.
Dra nu punkten P runt i koordinatsystemet och observera hur den rör sig.
Bilden intill har tagits med hjälp av spårningsverktyget (Trace) och Spåra geometri (Geometry Trace).
Ellipsens ekvation: Med de båda brännpunkterna placerade på x-axeln symmetriskt med avseende på origo är ellipsens ekvation:
𝑥2 + 𝑦2 = 1. 𝑎2 𝑏2
Ekvationen kan härledas med hjälp av avståndsformeln. Eftersom härledningen inte
är helt enkel hoppas den över.
Ellipsen skär x-axeln i punkterna (𝑎 ; 0) och (−𝑎 ; 0) och y-axeln i (0 ; 𝑏) och (0 ; −𝑏). Det här framgår om du sätter 𝑦 = 0 respektive 𝑥 = 0 i ellipsens ekvation.
Avståndet mellan de båda axelskärningarna kallas för storaxeln respektive lillaxeln, som alltså är 2𝑎 respektive 2𝑏.
Summan av avstånden från P till
de båda brännpunkterna är 2𝑎 .
Det framgår av figuren.
De båda fokus-koordinaterna är
i figuren kallade (𝑜 ; 0) och (−𝑜 ; 0).
I bilden ser du att summan av avstånden
från en punkt på ellipsen till brännpunkterna är 12 längdenheter.
39