Page 34 - ma2c_2_klassisk_geometri

Nspirerande matematik 2c Kapitel 2 Klassisk geometri
4.2. Parabelns ekvation
Definition: En parabel är orten för de punkter vars avstånd till en viss given punkt, fokus, är lika stort som avståndet till en given linje, styrlinjen. Ett annat namn för fokus är brännpunkten.
I kapitlet algebra och funktioner har du redan stött på den geometriska figur som kallas parabel. Där kunde parabeln beskrivas med en funktion eftersom den var orienterad på ett speciellt sätt, nämligen så att styrlinjen var horisontell. Styrlinjen kunde beskrivas av ett samband 𝑦 = 𝑘, där k är en konstant.
Exempel 4
En parabel har styrlinjen 𝑦 = 2 och fokus i (0 ; 5). Bestäm ekvationen och rita grafen.
Lösning:
En godtycklig punkt på parabeln kallas (𝑥 ; 𝑦). Enligt avståndsformeln blir avståndet från punkten (𝑥 ; 𝑦) till punkten (0 ; 5):
(𝑥−0)2 +(𝑦−5)2 =𝑥2 +(𝑦−5)2.
Avståndet från (𝑥 ; 𝑦) till styrlinjen är 𝑦 − 2 . Debådaavståndenärlika.𝑦−2=𝑥2 +(𝑦−5)2 Alltsåär. Kvadreradebådaleden:(𝑦−2)2 =(𝑥2 +(𝑦−5)2)2 =𝑥2 +(𝑦−5)2 Utveckla kvadraterna och förenkla:
𝑦2 −4𝑦+4=𝑥2 +𝑦2 −10𝑦+25⇔
6 𝑦 = 𝑥 2 + 2 1 ⇔ 𝑦 = 16 𝑥 2 + 72
Se graf intill. 1 7
Parabelns ekvation är 𝑦 = 𝑥 + .
Resultat:
622
Som förväntat är den här parabelns ekvation en funktion.
Styrlinjen är ju horisontell.
Vad händer om styrlinjen inte är horisontell? Förhoppningsvis får du den frågan besvarad genom att studera följande aktivitet.
32
©Texas Instruments 2017