Page 27 - ma2c_2_klassisk_geometri

Te 7 Öppna den fil du sparade i övning Te 6. Konstruera den cirkel som kan skrivas in i triangeln. Med en inskriven cirkel menas en cirkel som tangeras av samtliga sidor i triangeln. Dra sedan i hörnen för att undersöka om din cirkel förblir en inskriven cirkel.
Bevisa avslutningsvis att det stämmer att det verkligen är en inskriven cirkel som tangeras av sidorna i punkterna D, E och F (med beteckningar från figuren ovan).
3. Geometriska konstruktioner
Påstående: Se rubriken.
Bevis: Dra bisektriserna till vinklarna vid A
Bisektriserna i en godtycklig triangel skär varandra i en punkt
och C. Se figur. De skär varandra
i punkten P.
Rita normalerna från P mot
sidorna AB, BC och AC. De skär sidorna i punkterna D, E och F. Δ𝑃𝐵𝑃 ≅ Δ𝑃𝐴𝑃, två vinklar är lika, ∠𝑃𝐴𝑃 = ∠𝑃𝐵𝑃 = 90° och
∠𝐴𝑃𝑃 = ∠𝑃𝑃𝐵 (AP är bisektris till A). Sidan AP gemensam. Av ett helt likartat resonemang följer att
Δ𝐶𝐴𝑃 ≅ Δ𝐶𝐴𝑃 (genomför detta!).
Härav följer för de tre normalerna
att 𝐴𝑃 = 𝐴𝑃 = 𝐵𝑃.
Rita en linje genom hörnet B och
punkten P. ∆𝑃𝐵𝑃 ≅ ∆𝑃𝐴𝑃 eftersom
kateterna DP och EP är lika långa.
Sidan BP är gemensam för trianglarna och därmed är enligt Pythagoras sats de båda kateterna BD och BE lika.
Alltså är motsvarande sidor lika i trianglarna.
Av kongruensen följer att ∠𝐵𝑃𝑃 = ∠𝐴𝑃𝑃. Alltså är linjen genom B och P bisektris till vinkel B. Alltså skär de tre bisektriserna varandra i en och samma punkt. VSB.
25