Page 19 - ma2c_2_klassisk_geometri

2. Kongruens och likformighet
Exempel 2
I en rätvinklig triangel ritas höjden mot hypotenusan. Denna delas så att delarna blir 4,5 cm och 2,5 cm.
a) Bestäm triangelns area.
b) Bestäm kateterna i triangeln.
Med beteckningar enligt figuren är AD = 2,5 cm och DC = 4,5 cm.
Lösning:
Eftersom ∠𝑃𝑃𝐵 + ∠𝐵𝑃𝐶 = 90° och ∠𝐵𝑃𝐶 + ∠𝐵𝐶𝑃 = 90° är ∠𝑃𝑃𝐵 = ∠𝐵𝐶𝑃.
Vidare är ∠𝑃𝐵𝑃 = ∠𝑃𝐵𝐶 = 90°. Alltså är trianglarna ADB och BDC likformiga.
Härav följer att:
𝐴𝐴 = h ⇔h2 =𝑃𝐵∙𝐵𝐶=2,5∙4,5,medlängdericm.
h 𝐴𝑃
h = 2,5 ∙ 4,5 ≈ 3,35. 1 a)AreanavtriangelnABCär2∙𝑃𝐶∙h=2∙(2,5+4,5)∙ 2,5∙4,5≈11,7cm2.
1 √
b) Eftersom deltriangeln ADB är likformig med hela triangeln, med de skäl som angetts ovan,följeratt:𝐴𝐴 =𝐴𝐴⇔(𝑃𝑃)2 =𝑃𝐶∙𝑃𝐵=7∙2,5=17,5.
𝐴𝐴 𝐴𝑃
Alltså är 𝑃𝑃 = 17,5 ≈ 4,18 cm.
Enligt Pythagoras sats följer att
𝑃𝐶=(𝑃𝐶)2−(𝑃𝑃)2 =72−17,5=31,5≈5,61cm.
2 a) Arean är 11,7 cm .
Resultat:
b) Kateterna är 4,2 cm och 5,6 cm.
17