Page 17 - ma2c_2_klassisk_geometri

2. Kongruens och likformighet
Exempel 1
I triangeln ABC ritas en linje parallell med BC som skär sidorna i punkterna D och E.
Sträckorna AC, DE, och BC har följande längder: AC = 11 cm, DE = 4 cm och BC = 7 cm.
a) Bestäm sträckan EC.
b) Hur många gånger större area har triangeln ABC än triangeln ADE?
c) Vilket är förhållandet mellan arean av triangeln ADE och arean av parallelltrapetset
BCED?
Topptriangeln ADE är likformig med triangeln ABC eftersom alla vinklar i de båda trianglarna är lika stora.
a) Av likformigheten följer (med längder i cm) att
Lösning:
𝐴𝐴=𝐴𝐴⇔𝐴𝐴 =4⇔𝑃𝐴=4∙11≈6,29. 𝐴𝑃 𝐴𝑃 11 7 7
Då är 𝐴𝐶 = 𝑃𝐶 − 𝑃𝑃 ≈ 11 − 6,29 = 4,71. 𝐴𝑃 7 b) Längdskalan mellan trianglarna ABC och ADE är 𝐴𝐴 = 4.
Areaskalan är 𝐴𝑃2 = 72 = 49 ≈ 3,06. 𝐴𝐴 4 16
c) Förhållandet mellan arean av triangeln ADE och triangeln ABC (med bokstaven T
för arean) är 𝑇𝐴𝐴𝐴 = 16. 𝑇𝐴𝐴𝐴 49
Då är 𝑇 = 16 ∙ 𝑇 𝐴𝐴𝐴 49 𝐴𝐴𝑃
och resten av arean utgörs av parallelltrapetset BCED, dvs:
𝑇 = 33 ∙ 𝑇 𝐴𝑃𝐴𝐴 49 𝐴𝐴𝑃
𝑇𝐴𝐴𝐴 = 16/49 = 16 ≈ 0,5. 𝑇𝐴𝐴𝐴𝐴 33/49 33
a) 4,7 cm b) ca 3,1 c) ca 0,5
Resultat:
15