Page 18 - ma2c_2_klassisk_geometri

Nspirerande matematik 2c Kapitel 2 Klassisk geometri
Sats: Höjden mot hypotenusan i en rätvinklig triangel delar triangeln så att delarna blir likformiga med hela triangeln (repetition från 1c)
Påstående: Trianglarna ABC, PBC och PAC är likformiga. Bevis: Det gäller att 𝛽 + 𝛾 = 90°.
Det gäller också att 𝛽 + 𝛼 = 90°,
vinkelsumman i triangel PBC.
Alltså är 𝛼 = 𝛾.
Det gäller också att 𝛿 + 𝛾 = 90°, vinkelsumman i triangel PAC. Alltså är 𝛽 = 𝛿.
Alltså är trianglarna ABC, PBC och PAC likformiga. VSB.
Påstående: Triangeln ABC är rätvinklig.
Med beteckningar enligt figuren gäller det att
Pythagoras sats (repetition från 1c)
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑜2.
Bevis: Det gäller att x + y = c.
Vidare är 𝑎𝑥 = 𝑎𝑐 , triangel PBC är likformig
med triangel ABC. Då är 𝑥 = 𝑎2.
𝑜𝑦𝑏
Också gäller 𝑏 = 𝑐, triangel PAC är likformig med triangel ABC.
Dåär𝑦=𝑏2.Menx+y=c.Dåärenligtovan𝑎2 +𝑏2 =𝑜. 𝑜𝑐𝑐
Om båda leden multipliceras med c fås 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑜2. VSB.
16
©Texas Instruments 2017