Page 78 - ma2c_1_algebra_funktioner

Nspirerande matematik 2c Kapitel 1 Algebra och funktioner
Exempel 29
En andragradsfunktion har nollställena 𝑥 = 1 och 𝑥 = −3.
Grafen skär y-axeln i punkten med 𝑦 = 6.
Vilken är funktionen? Bestäm koordinaterna för extremvärdet och ange dess karaktär. Rita funktionens graf!
Lösning:
Eftersom nollställena är 𝑥 = 1 och 𝑥 = −3 har funktionen en faktoruppdelning
med faktorerna (𝑥 − 1) och (𝑥 + 3).
Anta att funktionen är 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 3).
Grafen skär y-axeln i 𝑦 = 6. Då är 𝑓(0) = 6.
Alltså gäller 𝑓(0) = 𝑎(0 − 1)(0 + 3) = −3𝑎 = 6. Alltså är 𝑎 = −2. 𝑓(𝑥)=−2(𝑥−1)(𝑥+3)=−2(𝑥2 +3𝑥−𝑥−3)=−2(𝑥2 +2𝑥−3).
𝑓(𝑥) = 6 − 4𝑥 − 2𝑥2.
Eftersom nollställena är 𝑥 = 1 och 𝑥 = −3 blir symmetrilinjens ekvation 𝑥 = −1.
𝑥 = −1 sätts in i funktionsuttrycket för att beräkna extremvärdet: 𝑓(−1)=6−4∙(−1)−2(−1)2 =6+4−2=8
Det är ett maximum eftersom
koefficienten framför 𝑥2-termen är negativ.
Bilden visar grafen av funktionen
𝑓(𝑥) = 6 − 4𝑥 − 2𝑥2.
Resultat:
Funktionenär𝑓(𝑥)=6−4𝑥−2𝑥 .
Grafen syns till höger!
2
Dessa båda exempel visar hur symmetriegenskaperna hos andragradsfunktioner kan utnyttjas för att undersöka andragradsfunktioner.
Metoden med symmetristudier kan generaliseras ytterligare.
Denna generalisering finns beskriven i en kommande aktivitet, ”Bestämning av extremvärden med symmetristöd”.
76
©Texas Instruments 2017