Page 50 - ma2c_1_algebra_funktioner

Nspirerande matematik 2c Kapitel 1 Algebra och funktioner
22
Polynomet (𝑥 − 2) − 9 kan skrivas 𝑥 − 4𝑥 − 5 eftersom
Nu är det dags att ta itu med det allmänna fallet:
(𝑥−2)2 −9=𝑥2 −4𝑥+4−9=𝑥2 −4𝑥−5.
Anta nu att du har funktionen på den utvecklade formen 𝑥2 − 4𝑥 − 5 och vill göra
en faktoruppdelning av uttrycket. För att möjliggöra detta kan det vara nyttigt att på
nytt se det första steget i utvecklingen.
Inledningenserutsåhär:(𝑥−2)2 −9=𝑥2 −4𝑥+4−9.
Här är x-termen den dubbla produkten av de båda termerna i parentesen.
Nyckeln för dig att göra faktoruppdelningen av 𝑥2 − 4𝑥 − 5 är att kunna se
omskrivningen𝑥2 −4𝑥−5=𝑥2 −4𝑥+22 −22 −5=𝑥2 −2∙2∙𝑥+22 −9.
Detta gör du med hjälp av den dubbla produkten som är 4𝑥 = 2 ∙ 2 ∙ 𝑥.
De båda termerna i parentesen som utgör kvadraten är alltså 𝑥 och −2.
Att den andra termen är −2 och inte 2, bestäms av minustecknet framför x-termen.
Som du ser adderas och subtraheras samma tal, 22, för att komplettera kvadraten!
För att göra en faktoruppdelning kan du fortsätta omskrivningen
𝑥2 −4𝑥−5=𝑥2 −4𝑥+4−9=(𝑥−2)2 −32 ochavslutamedkonjugatregeln:
𝑥2 −4𝑥−5=𝑥2 −4𝑥+4−9=(𝑥−2)2 −32 =(𝑥−2)+3(𝑥−2)−3=
= (𝑥 + 1)(𝑥 − 5).
Om du ska kvadratkomplettera ett uttryck kan du tänka så här:
”Ta koefficienten för x, halvera den och kvadrera sedan”.
Ytterligare ett numeriskt exempel följer:
𝑥2 +3𝑥−4=𝑥2 +3𝑥+32 −9−4=𝑥+32 −25. 24 24
Kontrolleradetsistasteget! 𝑝 2 𝑝 2 𝑝 2 𝑝2 Generelltgäller:𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞=𝑥2 +𝑝𝑥+2 −2 +𝑞=𝑥+2 − 4 +𝑞.
Observera att i samtliga fall är koefficienten för 𝑥2 talet 1. Skulle så inte vara fallet får du först bryta ut lämpligt tal.
48
©Texas Instruments 2017