Page 66 - ma1c_2_geometri

Nspirerande matematik 1c
Kapitel 2 Geometri
I ett koordinatsystem ritas en linje genom punkterna (−3; 2) och (1; 3) samt en linje genom punkterna (−2; 4) och (2; 1).
Bestäm den spetsiga vinkeln, 𝛼, mellan de båda linjerna.
Lösning:
Exempel 20
Vektorn mellan (−3; 2) och (1; 3) kallas u och u = (1 − (−3); 3 − 2) = (4; 1). Vektornmellan(−2;4)och(2;1)kallasvochv= (2−(−2);1−4)=(4;−3). u ∙ u = (|u|)2= 4 ∙ 4 + 1 ∙ 1 = 17 och v ∙ v = (|v|)2= 4 ∙ 4 + (−3) ∙ (−3) = 25.
u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos 𝛼 = √17 ∙ √25 ∙ cos 𝛼 eller också
u ∙ v = 4 ∙ 4 + 1 ∙ (−3) = 13 13
√17 ∙ √25 ∙ cos 𝛼 = 13 ⇔ cos 𝛼 = √17∙25 som ger 𝛼 ≈ 51°.
Vinkeln 𝛼 ≈ 51°.
Resultat:
En liten kommentar rörande vinkel-
beräkningen kan vara på sin plats. Bilden
visar de båda vektorerna så som de
definierades i exempel 20. Vinkeln som
beräknas blir automatiskt den spetsiga, 𝛼.
Om en av de båda vektorerna skulle ha
definierats som den motsatta vektorn blir
resultatet istället den trubbiga vinkeln.
Om v istället definieras som vektorn mellan (2; 1) och (−2; 4) blir v = (−4; 3). Dåblirskalärproduktenu∙v=4∙(−4)+1∙3= −13,alltsånegativ.
Detta medför att cos 𝛼 blir negativ.
Såsom cos 𝛼 och även sin 𝛼 har definierats i denna kurs skulle detta inte vara möjligt.
I senare kurser kommer en annan definition av sin 𝛼 och cos 𝛼 och tills vidare får du bara acceptera att cos 𝛼 kan bli negativt beroende på att vinkeln är trubbig. Detta överensstämmer för övrigt väl med det resultat du får med TI-NspireTM.
64
©Texas Instruments 2017