Page 65 - ma1c_2_geometri

Det här kan användas att beräkna vinkeln mellan två vektorer eftersom vinkeln kan
x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 beräknas ur cos 𝛼 = |u|∙|v| .
Högerledets täljare innehåller skalärprodukten av vektorerna uttryckt med hjälp av koordinaterna och nämnaren produkten av de båda vektorernas längder.
4. Vektorer
Exempel 18
Bestäm längden av vektorn a = ( − 2; 5). Lösning: a∙a=|a|∙|a|∙cos0°=|a|∙|a|∙1=(|𝒂|) eller a ∙ a = (−2) ∙ (−2) + 5 ∙ 5 = 29
2
Detta ger (|a|)2 = 29 eller att |a| = √29 ≈ 5,39.
(Det negativa värdet förkastas eftersom det är en längd) Resultat:
Längden är |a| = √29 ≈ 5,39 längdenheter.
Som du inser kunde du också ha beräknat längden med hjälp av Pythagoras sats.
Rita en figur med vektorn och dela upp den i komposanter så ser du att du kan använda en rätvinklig triangel med kateterna 2 och 5 längdenheter för beräkningen.
Bestäm vinkeln mellan de båda vektorerna u och v som definieras på följande sätt: a) u = (2; 5) och v = (4; 1) b) u = (2; 1) och v = (−3; −2)
22
a)u∙u=(|u|) =2∙2+5∙5=29ochv ∙v=(|v|) =4∙4+1∙1=17
Exempel 19
Lösning:
u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos 𝛼 = √29 ∙ √17 ∙ cos 𝛼 eller också u ∙ v = 2 ∙ 4 + 5 ∙ 1 = 13
√29 ∙ √17 ∙ cos 𝛼 = 13 ⇔ cos 𝛼 = 13 √29∙√17
. Detta ger 𝛼 ≈ 54,2° v∙v=(|v|)2 =(−3)∙(−3)+(−2)∙(−2)=13
b)u∙u=(|u|)2 =2∙2+1∙1=5och
u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos 𝛼 = √5 ∙ √13 ∙ cos 𝛼 eller också
u ∙ v = 2 ∙ (−3) + 1 ∙ (−2) = −8 −8 √5∙√13∙cosα=−8⇔ cos𝛼=√29∙√17somger𝛼≈172,9°
Vinkeln är a) 66,1° b) 172,9°.
Resultat:
63