Page 64 - ma1c_2_geometri

Nspirerande matematik 1c Kapitel 2 Geometri
Exempel 17
Längderna av vektorerna u och v är 5 respektive 7 längdenheter.
Vad blir skalärprodukten av de båda vektorerna om vinkeln mellan dem är:
a) 0° b) 60° c) 30° d) 90° ?
a) u∙v=|u|∙|v|∙ cos𝛼=5∙7∙cos0°=5∙7∙1=35
Lösning:
b) u∙v=|u|∙|v|∙ cos𝛼=5∙7∙cos60°=5∙7∙0,5=17,5
c) u∙v=|u|∙|v|∙ cos𝛼=5∙7∙cos30°=5∙7∙√3 =35 ∙√3 ≈30,3 22
d) u∙v=|u|∙|v|∙cos𝛼=5∙7∙cos90°=5∙7∙0=0 Resultat:
Se ovan.
Det är av speciellt intresse att observera att skalärprodukten av två vinkelräta vektorer. Till att börja med ska du få se några viktiga egenskaper hos de båda enhetsvektorerna i det ortonormerade systemet.
De har båda längden en enhet och de är vinkelräta mot varandra.
För enhetsvektorerna gäller att:
ex ∙ex =|ex|∙|ex|=1∙1∙ cos0°=1∙1∙1=1
ey ∙ey =ey∙ey=1∙1∙ cos0°=1∙1∙1=1
ex ∙ey =|ex|∙ey=1∙1∙ cos90°=1∙1∙0=0.
Skalärprodukten av en godtycklig vektor med sig själv ger också intressant resultat. u∙u=|u|∙|u|∙ cos0°=|u|∙|u|.Dettaärlängdenavvektornikvadrat!
Vektorerna u och v har koordinaterna u = (x1; y1) och v = (x2; y2). Dekanocksåskrivasu=x1 ∙ex +y1 ∙ey respektivev=x2 ∙ex +y2 ∙ey. Dåäru∙v=(x1∙ex+y1∙ey)∙(x2∙ex +y2∙ey).
När parenteserna multipliceras ihop uppkommer produkter ex ∙ ex och ey ∙ ey.
Båda dessa blir = 1. Dessutom uppkommer ex ∙ ey och detta blir = 0.
Kontrollera själv att skalärprodukten blir: u ∙ v = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑉1 ∙ 𝑉2.
Enligt definitionen är u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos 𝛼.
De båda skrivsätten ger tillsammans: |u| ∙ |v| ∙ cos 𝛼 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑉1 ∙ 𝑉2.
62
©Texas Instruments 2017