Page 35 - ma1c_2_geometri

Som du såg på föregående sida finns det möjlighet att beräkna exakta värden på sin α, cos 𝛼 och tan 𝛼 för vissa vinklar.
I en liksidig triangel är alla sidor lika långa och alla
vinklar 60°. Om höjden ritas mot en av sidorna
a2 +h2 =(2a)2 ⇔h2 =4a2 −a2 ⇔h2 =3a2.Dettaärsantomh=a∙√3. Det gäller alltså att sin 60° = h = a∙√3. Alltså är sin 60° = √3
2. Rätvinkliga trianglar
uppkommer två stycken rätvinkliga trianglar som
har vinklarna 90°, 60° och 30°. I bilden har halva sidan kallats a.
Med beteckningarna i figuren gäller enligt Pythagoras sats att
a 2a 1 2a 2 cos 60° = 2a. Alltså är cos 60° = 2.
Slutligen är tan 60° = h = a√3. Alltså är tan 60° = √3.
Påsammasättkanvisasattsin30°=1, cos30°=√3 ochtan30°= 1.
aa
2 2 √3
Visa själv att detta gäller!
En annan rätvinklig triangel som är intressant att studera är den som brukar kallas en halv kvadrat. En sådan består förutom av den räta vinkeln av två vinklar som båda är 45°.
Med beteckningarna i bilden gäller enligt Pythagoras sats att d2 = a2 + a2 = 2a2. Detta medför att d = a√2.
Då gäller att sin 45° = d = a√2. Alltsåärsin45°= 1. a a
√2
På samma sätt kan visas att
cos45°= 1 ochatttan45°=1. √2
Visa själv att detta gäller!
33