Page 53 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : loi binomiale
TI-83 Premium CE Édition Python TI-82 Advanced Édition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
Un problème de surréservation
L. DIDIER & R. CABANE
Fiche méthode
Étapes de résolution
▶ Objectif 1 :
Voir la fiche Triangle de Pascal qui présente diverses manières de calculer les coefficients binomiaux. Nous proposons ici une manière (efficace) parmi toutes celles présentées.
▶ Objectif 2 :
Si k>n on considère que le coefficient est nul.
On peut utiliser un argument de symétrie sur les coefficients pour gagner en efficacité.
On crée un fonction binomiale qui prend en
paramètres trois nombres (deux entiers naturels n et k et p un nombre décimal compris entre 0 et 1) et qui renvoie P( X=k), où X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Le cas k>n
renvoie bien une probabilité nulle car
coeff(n,k) renvoie 0 dans ce cas.
▶ Objectif 3 :
Dans un premier temps on va créer la fonction de répartition de la fonction binomiale appelée binomFrep qui prend comme argu- ments deux entiers naturels k et n et qui renvoie P(X≤k)où X suit une loi binomiale de paramètres n et k.
Dans un second temps, nous créons une fonction surbooking qui renvoie le nombre de places répondant au problème posé et prend en paramètres :
▸alpha, un nombre décimal qui représente le pourcentage de risque accepté en effectuant du surbooking (ici 0,01) ;
▸n, entier représentant le nombre de places dans l’avion (ici 300) ;
▸ p, nombre décimal représentant la probabilité qu’une personne ayant effectué une réservation se présente (ici 0,96).
Soit X une variable suivant une loi binomiale de paramètres n et p=0,96. Le problème revient donc à chercher un entier n maximal tel que P(X>300)≤0,01. On crée donc une boucle while qui fait appel à la
fonction binomFrep pour répondre au problème posé.
nk n−k On calcule ici :( )p (1−p)
.
k
Il s’agit ici de calculer une somme
k
∑P(X=i) à l’aide d’une boucle.
i=0
On cherche ici à déterminer le plus grand entier naturel i tel que si X=Bin(i ,p),
P(X ≤ 300)≥ 1−α, ce qui est équivalent à : 1−P(X ≤ 300)≤ α. On commencera la recherche avec i=n (au minimum lorsqu’on vend autant de billets que de places).
Ce document est mis à disposition sous licence Creative Commons 51 © Texas Instruments 2021 / Photocopie autorisée