Page 51 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : loi binomiale
TI-83 Premium CE Édition Python
TI-82 Advanced Édition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
Un problème de surréservation
L. DIDIER & R. CABANE
Un problème de surréservation
Présentation et objectifs
Dans le programme (spécialité Terminale)
Contenus
Capacités attendues
Algorithmes
Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
Schéma de Bernoulli : répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli indépendantes.
Loi binomiale B(n,p) : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux.
Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d’optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès.
Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale X, calculer numériquement une probabilité du type P( X=k),P( X ≤k), P(−k≤ X ≤k), en s’aidant au besoin d’un algorithme ; chercher un intervalle 𝐼 pour lequel la probabilité P( X ∈I) est inférieure à une valeur donnée α, ou supérieure à 1−α.
Problème de la sur- réservation. Étant donné une variable aléatoire binomiale X et un réel strictement positif α, déter- mination du plus petit entier k tel que P(X>k)≤α.
Positionnement du problème
Dans certains domaines et notamment dans le transport aérien, pour un vol donné, un certain nombre de passagers ayant procédé à une réservation ne se présentent pas à l’embarquement (maladie, retard, etc.).
Le taux de personnes qui ne se présentent pas semble se situer en moyenne autour de 5 %. Ce taux était plus important il y a quelques années car on pouvait annuler sa réservation sans pénalités.
Ce taux est confidentiel car ce taux de non-présentation est intimement lié à un autre, celui de la surréservation.
Pour chacun de leurs vols, afin d’améliorer le taux de remplissage de l’avion et donc la rentabilité du vol, les compagnies proposent un nombre de réservations supérieur au nombre de places de l’avion : c’est la surréservation, ou surbooking.
Dans cette pratique le risque est évident : que certains voyageurs ne puissent pas embarquer en raison d’un manque de places dans l’avion.
Les victimes de ce fonctionnement seront dédommagées financièrement.
Comment est déterminé le nombre de places en surréservation sachant que cela coûte de l’argent à la compagnie ? (dédommagement, prise en charge des frais d’hôtel, de restaurant, etc.)
À faire...
Étudions un exemple :
Un avion de la compagnie TI-Airline en provenance de Maths-en-ville et à destination de Lumière-ville
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