Page 38 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : logarithmes
TI-83 Premium CE Edition Python TI-82 Advanced Edition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
Le calcul des logarithmes
L. DIDIER & R. CABANE
d’abscisse 1, soit : ln(x)≈x−1 pour des nombres réels x proches de 1. Dans le cas présent : si un est proche de 1 alors ln(u ) est proche de u −1 ; sachant que ln(un)= 1 ln(x), on en vient à considérer
n n 2n queln(x)est«àpeuprèségal»àv=2n u−1.
1.
2.
Écrire une fonction en langage Python donnant les approximations du logarithme de x pour un nombre d’itérations n donné, et comparer ces résultats avec la valeur fournie par la calculatrice, pour diverses valeurs de x : x=2,x=20,x=404,x=0.05 et diverses valeurs de n. Qu’observe-t- on quand n dépasse 40 ?
Écrire une fonction en langage Python donnant une approximation du logarithme de x pour une précision p donnée, et tester cette fonction pour x=2,x=20,x=404,x=0.05 et pour une
−6
précision p=10 . Pour ce faire, engager simultanément les algorithmes de Briggs pour le calcul
de ln(x) et de −ln x , et stopper dès que l’écart entre les deux approximations est (1)
suffisamment faible (par rapport à p ).
n(n)
Il reste à choisir n de manière adéquate pour garantir la précision souhaitée. Vient alors une
seconde idée : ce qui précède peut aussi bien être conduit avec 1x à la place de x, aboutissant cette fois à une approximation de ln(x1)=−ln(x).
On définit donc la suite (Un) par U0=1x pour x>0 puis Un+1=√ Un pour tout entier naturel n , et enfin Vn=2n(1−Un) qui converge aussi vers ln(x).
Nous admettrons que les suites (vn) et (Vn) sont monotones et de sens contraires ; elles vont donc fournir des encadrements de ln(x), d’autant plus resserrés que n sera grand.
Objectifs
Ci-contre : une table de calcul de Briggs (crédit : Jacques Laporte)
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