Page 37 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : logarithmes
TI-83 Premium CE Edition Python
TI-82 Advanced Edition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
Le calcul des logarithmes
L. DIDIER & R. CABANE
Le calcul des logarithmes
Présentation et objectifs
Dans le programme (spécialité Terminale)
L’histoire du calcul des logarithmes
C’est l’Écossais John Napier (ou Neper) (1550-1617) qui inventa les logarithmes, initialement dans le but de faciliter les calculs propres aux activités de banque et de commerce, puis, assez rapidement, pour les très longs calculs trigonométriques nécessaires pour la navigation. Très vite s’est posée la question du calcul effectif (mais approché) en vue de construire des « tables de logarithmes ». Différentes méthodes furent aussitôt proposées, dont celle que nous allons étudier ici.
Henry Briggs (1561-1630) qui fut un mathématicien, astronome et géographe anglais très influent en son époque, s’attela au problème ; il inventa aussi les logarithmes décimaux.
Le principe
Imaginons un texte que Briggs aurait pu écrire, où il expli- querait comment calculer des logarithmes « naturels » (népériens)...
« Pour calculer le logarithme d’un certain nombre positif et non nul, je prends la racine carrée de ce nombre, de manière répétée jusqu’à obtenir un résultat suffisamment proche de 1. À la suite, je soustrais 1 et je double le résultat autant de fois que j’ai fait de racines auparavant. »
L’idée de l’algorithme de Briggs est donc la suivante : pour approcher ln(x) (pour x>0 ), on remplace x par √x (n fois), l’entier n étant « grand » (on y reviendra plus loin). L’approximation à donner est alors 2n( x−1).
Quelques explications
On peut formaliser l’algorithme de Briggs à l’aide d’une suite récurrente définie par u0=x et un+1=√un pour tout entier naturel n , dont on démontre qu’elle converge vers 1.
Contenus
Fonction logarithme népérien.
Propriétés algébriques du logarithme. Fonction dérivée du logarithme, variations.
Capacités attendues
Utiliser l’équation fonctionnelle de l’exponentielle ou du logarithme ...
Exemple d’algorithme
Algorithme de Briggs pour le calcul du logarithme.
On utilise alors l’approximation de la courbe représentative du logarithme par sa tangente au point
Frontispice de l'ouvrage publié par Briggs (crédit : Jacques Laporte )
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