Page 35 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : intégrales
Niveau : spécialité maths Terminale
TI-83 Premium CE Edition Python TI-82 Advanced Edition Python
L'approximation des intégrales
L. DIDIER & R. CABANE
Une fonction = un objet
Dans nos fonctions d’approximation recg, recd, mil, trap, on a quatre paramètres : la fonction f, les bornes a, b et le nombre n de sous-intervalles à la base du découpage.
Notons qu’une fonction peut être passée comme paramètre à une autre fonction (voir l’Appendice 1 pour plus de détails).
Objectif 1 : programmes en Python
La programmation des approximations en rectangles à gauche (recg) et à droite (recd) suit exactement les prescriptions antérieures. On définit deux variables internes (locales) à la fonction, s pour accumuler les valeurs de la fonction f et p pour la largeur des intervalles (le « pas »).
Pour les trapèzes, on évite de transcrire directement le calcul des aires des trapèzes, soit p× f (xk)+f (xk+1), car cela conduirait
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à calculer deux fois les valeurs de la
fonction f excepté les valeurs extrêmes f (a) et f (b).
On garde ainsi le même schéma d’accu- mulation de valeurs dans une variable s, mais on initialise s avec les valeurs extrêmes.
On utilise ici une variante du mécanisme range : range(1,n) fait prendre à k les valeurs entières de 1 à n-1 (inclus).
Pour le point milieu, on décale simplement le point d’évaluation
p de f d’une demi-longueur 2 .
Validations
On commence par intégrer la fonction « inverse » (inv) entre 1 et 2, en vue d’approcher ln(2) ; on voit de suite que pour un même nombre d’intervalles c’est l’approximation des milieux qui semble la meilleure. Cela dit, pour réaliser une approximation conséquente il faudrait aug- menter substantiellement le nombre d’intervalles, au prix d’un temps de calcul considérable.
Pour l’aire du quart de disque, même constat : un meilleur algorithme peut conduire à de meilleures approximations, mais nous sommes encore loin de pouvoir atteindre des précisions de l’ordre de 10−9 ou mieux !
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