Page 34 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : intégrales
TI-83 Premium CE Edition Python TI-82 Advanced Edition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
L'approximation des intégrales
L. DIDIER & R. CABANE
Objectifs
▶ Objectif 1 : programmer le calcul approché, travail de groupe
La classe se répartit en plusieurs petits groupes, qui choisissent l’un des quatre algorithmes cités,
et les programment en langage Python.
À la suite, les groupes testent leurs programmes pour le calcul de ln(2)≈0.6931472 (comme intégrale de
la fonction inverse définie sur l’intervalle [1 ; 2] par inv(x)=1x ) et comparent leurs résultats : valeurs par
excès ou par défaut, avec quel écart ?
Validation
Pour tester nos algorithmes, nous pouvons tenter d’approcher
1
elle mesure l’aire d’un quart de disque de rayon 1, valant π4 unités d’aire (voir la figure ci-contre15).
▶ Objectif 2 : les primitives
Dernier objectif : tracer la courbe représentative d’une primitive F
d’une fonction f définie et continue sur un certain intervalle. On pourrait évidemment approcher les valeurs de la primitive au moyen du travail antérieur, mais c’est peu efficace car on recalculerait de nombreuses fois les mêmes valeurs. Mieux vaut donc procéder « de proche en proche » : une fois F(x) approchée, on peut approcher F(x+h) (h étant le « pas », une petite valeur) à partir de la formule
F(x+h)=F(x)+∫x+h f (t) dt, où l’intégrale peut être estimée par l’une des méthodes précédentes. x
On propose donc d’écrire une fonction ayant pour appel : prim(f,a,b,h,y0), f étant la fonction à
primitiver, a et b les bornes, h le « pas » et y0 la valeur de la primitive au point a, et renvoyant une liste
« au mieux » I=∫ √1−x2 d x. Cette intégrale est bien connue14 : 0
formée de deux listes, celle des abscisses utilisées et celle des ordonnées correspondantes pour F. x
En d’autres termes, il s’agit de calculer, de proche en proche, les valeurs de F(x)=y0+∫a f(t)dt. Et un exemple à traiter : le logarithme bien sûr (en partant de ln(1)=0).
Attention : la fonction « logarithme népérien » (notée ln) est codée sous le nom log en Python !
14 La primitive de la fonction x↦√1−x2 a une expression fort compliquée.
15 Cette figure, comme les précédentes, a été réalisée avec le logiciel TI-Nspire CX CAS.
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