Page 33 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : intégrales
TI-83 Premium CE Edition Python
TI-82 Advanced Edition Python
Niveau : spécialité maths Terminale
L'approximation des intégrales
L. DIDIER & R. CABANE
L'approximation des intégrales
Comment « calculer » une intégrale ?
Dans le programme (spéciaité Terminale)
Situation déclenchante
– (l’élève) Madame, peut-on toujours calculer des intégrales avec des formules comme pour les – dérivées ? –
– Non, ce n’est pas toujours possible. Le mathématicien Liouville l’a démontré en 1835.
– Alors, on fait comment ? –
– Si tu acceptes une petite erreur d’approximation,
on peut y parvenir.
D’accord. Comment ça se passe ?
Tu pourrais déjà découper ton intégrale en
« bandelettes » très fines, dont l’aire est bien proche de celle d’un rectangle ...
Ah ! Mais je peux même faire un peu mieux !
Contenus
Définition de l’intégrale d'une fonction continue positive définie sur un segment
[a,b], comme aire sous la courbe représentative de f .
[Lien entre intégrales et primitives]
Capacités attendues
Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale. Calculer l’aire entre deux courbes.
Approfondissements
Approximation d'une aire par l'utilisation de suites adjacentes. Exemples d’algorithme
Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes.
Il s’agit de déterminer une valeur approchée de l’intégrale d’une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b] grâce aux algorithmes
b
des rectangles, milieux ou trapèzes. Pour approcher ∫a f (x ) d x on
commence par la découper en n sous-intégrales sur des intervalles successifs, chacun de longueur p=b−a (relation de Chasles, voir ci-
n
contre). Les « points » du découpage sont xk=a+k×p pour 0≤k≤n .
On approche cette dernière par l’aire d’un rectangle ou d’un trapèze, en suivant l’une des méthodes indiquées ci-dessous.
Rectangles
Trapèzes
Point milieu
n−1 n
RecG=p∑f(xk) RecD=p∑f(xk) k=0 k=1
p n−1
Trap=2∑[f(xk)+f(xk+1)] k=0
n−1 p
Mil=p∑f(a+k×p+2) k=0
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