Page 28 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : suites et listes
TI-83 Premium CE Edition Python TI Nspire CX II-T
Niveau : Spécialité maths Terminale
Vitesses de croissance
L. DIDIER & R. CABANE
croissance évoqué par Giancarlo (proportionnalité des accroissements).
Concernant les suites géométriques, on remarque que si on prend une suite définie par un=a×qn pour tout n∈N , alors ln(un)=ln(a)+n×ln(q) forme une suite arithmétique.
On pourra donc dire qu’une suite (un) a une croissance géométrique (ou exponentielle) si la suite de terme général vn=ln(un) a une croissance arithmétique. C’est le modèle proposé par Federico.
Coder une suite en Python
Une suite peut être simulée en langage Python comme liste ou comme fonction. La suite des carrés nous servira d’exemple : un=n2 pour n∈N .
Première approche : on donne une liste des premiers termes. La mémoire de la machine peut contenir beaucoup de termes, mais évidemment pas une infinité de termes !
Seconde approche : on code la suite comme une fonction Python v d’un paramètre n ayant des valeurs entières ; ainsi la valeur v(n) désignera le terme vn de rang n de la suite.
Pour revenir vers la première approche, on peut ensuite créer une « liste en compréhension » (ou bien étendre une liste par ajouts successifs).
>>> u=[0,1,4,9,16,25,36,49,64] >>> def v(n):
... return n*n
...
>>> [v(k) for k in range(9)]
[0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64]
>>> v(6)
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Attention : selon le contexte, on écrira v(k) (si v est une fonction) ou u[k] (si u est une liste).
▶ Objectif 1 : écrire une fonction créant les 9 premiers termes d’une suite arithmétique de premier
terme et de raison donnés, et une autre similaire pour une suite géométrique.
Indication : pour ajouter un élément x à la fin d’une liste L, on code : L.append(x).
Observer les données
On peut représenter une suite (un) de nombres en portant n en abscisses et la valeur un en ordonnées. En représentant les suites à comparer sur le même graphique, on a un bon moyen pour conjecturer (visuellement) un comportement particulier : au vu de la liste des premiers termes, cette suite semble-t- elle avoir une croissance arithmétique, ou faut-il plutôt penser à une suite géométrique ?
▶ Objectif 2 : Créer des listes a, b représentant les termes décrivant les nombres totaux de cas de CoVid-19 en Italie aux deux périodes considérées. Utiliser l’approche graphique pour répondre à la question précédente.
Modéliser les données
▶ Objectif 3 : écrire une fonction Python permettant de vérifier si une liste est le début d’une suite arithmétique, ou d’une suite géométrique ; si oui, renvoyer la raison et 0 sinon.
▶ Objectif 4 : à l’aide de suites auxiliaires et de la fonction logarithme, juger si la croissance des listes a, b (vues comme le début de deux suites a=(an) et b=(bn) ) est plutôt arithmétique ou géométrique.
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