Page 26 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : probabilités
TI-83 Premium CE Edition Python TI-Nspire CX II-T
Niveau : spécialité maths Première + Terminale
Marches aléatoires
L. DIDIER & R. CABANE
Marche aléatoire en 2D
▶ Objectif 3 : une simulation de (X;Y)
Supposons que les coordonnées soient entières et que les « pas » du pion soient d’une unité de longueur. Il nous faut un premier tirage « pile ou face » ( −1 ou 1 ) pour décider si le pion va se déplacer verticalement ou horizontalement, et un second pour décider de la direction qu’il prendra. Le code Python est alors très simple, ci-contre avec un exemple d’exécution associé.
À noter : les trois appels de b ne désignent pas la même valeur, puisque chaque appel à la fonc- tion randint ou choice « relance la pièce ».
▶ Objectif 4 : autre approche
En posant X=U+V ,Y=U−V , on a l’initialisation (X;Y)=(0 ; 0), et les évolutions possibles
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détaillées ci-contre, ce qui se trouve en accord avec les règles de déplacement du pion. Grâce au principe d’additivité de l’espérance, on en déduit que les espérances de X et Y sont nulles.
▶ Objectif 5 : représentation graphique
Nous allons maintenant employer le module additionnel Turtle (pré-
senté dans l’avant-propos et détaillé dans l’appendice 2).
Le programme ci-contre10 est très simple : à chaque étape il tire un angle au hasard, multiple de 90°, oriente la tortue en conséquence puis provoque son avancement de 6 « pas » (ou pixels). La figure tra- cée ressemble à celle qu’on voit à droite. On constate que, cette fois, le « pion » ne repasse que très rarement, voire jamais, sur son point de départ ; d’autres conjectures peuvent être faites (éloigne- ment, franchissement de droites, etc.).
D’autres expérimentations
Il est dès lors facile de simuler une marche aléatoire évoluant avec des angles de 60° au lieu de 90°, ou avec des angles un peu quelconques. Autant le « retour à l’origine » est possible avec un angle de 60°, autant il n’a pratiquement plus jamais lieu avec d’autres angles. À essayer !
U
V
X
Y
+1
+1
+1
0
−1
−1
−1
0
+1
−1
0
+1
−1
+1
0
−1
10 Ce programme devra être adapté selon la calculatrice employée et les mises à jour du module Turtle.
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