Page 58 - ma2c_2_klassisk_geometri

Nspirerande matematik 2c Kapitel 2 Klassisk geometri
2012 2013
2014
2015
2016
2017
2018 2019
Påstående: 𝑣 = 2𝑢
Bevis: ∠𝑂𝑃𝑃 = 𝑢, eftersom OP och OB är radier i cirkeln. 𝑣 = 𝑢 + 𝑢
eftersom yttervinkeln är lika med summan av innervinklarna.
𝑣 = 2𝑢. VSB.
Eftersom periferivinklarna står på samma båge kan man konstruera en gemensam medelpunktsvinkel på denna båge. Om den ena periferivinkeln betecknas v är medelpunktsvinkeln 2v enligt bågvinkelsatsen.
Om medelpunktsvinkeln är 2v måste den andra periferivinkeln vara v enligt bågvinkelsatsen. De båda periferivinklarna är alltså lika stora. VSB.
2,4 cm
35°
90°
Eftersom alla punkter på mittpunktsnormalen ligger lika långt från A och C
är speciellt AP = PC. På samma sätt framgår att AP = BP, vilket medför att en normal till AB genom punkten P är en mittpunktsnormal.
Eftersom AP = BP = CP kan en cirkel konstrueras genom punkterna A, B och C och med P som medelpunkt.
Drag ut linjen OP så att den träffar cirkelns periferi i punkten D.
PD blir en diameter i cirkeln.
∠𝑂𝑃𝑃 betecknas 𝛼. Då blir också ∠𝑂𝑃𝑃 = 𝛼 eftersom triangel APO är en likbent triangel. Enligt yttervinkelsatsen blir ∠𝐵𝑂𝑃 = 2𝛼.
Om ∠𝑃𝑃𝑃 betecknas u blir ∠𝑂𝑃𝑃 = 𝛼 + 𝑢 och ∠𝑂𝑃𝑃 = 𝛼 + 𝑢 eftersom triangel OBP är likbent. Om ∠𝑃𝑂𝑃 betecknas v gäller enligt yttervinkelsatsen att
2𝛼 + 𝑣 = 𝛼 + 𝑢 + 𝛼 + 𝑢, vilket medför att 𝑣 = 2𝑢. VSB.
56
©Texas Instruments 2017