Page 57 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : simulation & espérances
TI-83 Premium CE Édition Python
TI-Nspire CX II-T
Niveau : spécialité maths Terminale
L'approximation « Monte Carlo »
L. DIDIER & R. CABANE
La méthode de Monte Carlo
Présentation et objectifs
Dans le programme (spécialité Terminale)
Probabilités
Espérances. Loi des grands nombres.
La méthode dite de Monte-Carlo est une
méthode visant à approcher une solution
d’une équation mathématique, voire toute
valeur numérique, en utilisant des procédés
aléatoires, c'est-à-dire des techniques
probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui
fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à
Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par
Nicholas Metropolis, et publié en 1949 dans
Calcul intégral / Exemples d’algorithme
Méthode de Monte-Carlo.
Une histoire atomique
un article coécrit avec Stanislaw Ulam lors 20
dudéveloppementdel’armenucléaire .
Situation déclenchante
Comme exemple de recherche de valeur numérique, nous allons voir comment trouver des valeurs approchées du nombre π en traitant le problème d’un point de vue probabiliste. La précision du résultat sera directement liée au nombre de répétitions qui seront réalisées. De ce fait, la précision du résultat sera liée à la durée de la simulation.
Le nombre π, considéré comme la surface délimitée par un cercle de rayon 1 unité, vaut approximativement 3,14159 unités. Comment la déterminer par simulation de Monte-Carlo ? Il s’agit de représenter cette valeur comme une proportion qui sera considérée comme l’espérance d’une variable aléatoire.
Pour ce faire, nous traçons un disque de rayon 1 unité et l’englobons dans un carré de côté 2 unités, donc d’aire 4 unités d’aire, tangent au cercle en 4 points, comme sur la figure ci-contre.
Nous considérons alors l’aire du quart de disque grisé divisée par l’aire du carré ABDG, valant π/4 unités d’aire. Si nous disposons une grille très fine sur ce carré, formée par M lignes horizontales et M lignes verticales ( M étant un très grand entier), nous avons M2 petits carrés qui se répartissent en deux sortes : les carrés « rouges » dont le coin en bas à gauche se trouve à l’intérieur du quart de
20 Plus précisément, il s’agissait de modéliser la trajectoire moyenne des neutrons dans un réacteur ou pendant une explosion nucléaire.
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