Page 23 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : probabilités
TI-83 Premium CE Edition Python TI-Nspire CX II-T
Niveau : spécialité maths Première + Terminale
Marches aléatoires
L. DIDIER & R. CABANE
Marches aléatoires
Présentation et objectifs
Dans les programmes
Situation déclenchante
Les marches aléatoires sont des modélisations de phénomènes de nature chaotique comme le déplacement des molécules d’un gaz dans une enceinte fermée, celui de petites particules en suspension dans un liquide ou encore les cours des marchés financiers.
La marche aléatoire unidimensionnelle peut s’expliquer comme un
jeu. On place un pion à l’origine d’un axe gradué, et on le déplace
avec cette règle : à chaque unité de temps, le pion avance d’un pas
(1 unité de longueur), soit à gauche soit à droite et de manière équiprobable. Il s’agit d’étudier le mouvement du pion sur une durée longue, et d’abord de le simuler.
Objectifs 1D (spécialité en Première)
1. On note Y l’abscisse du pion à chaque instant. Simuler la variable Y à l’aide du module random. 2. En utilisant le module ti_plotlib, représenter la marche aléatoire sur un graphique avec le
temps en abscisse et Y en ordonnée (comme le graphe9 ci-dessus, mais avec une seule courbe).
Objectifs 2D (spécialité en Terminale)
L'étude simultanée de plusieurs variables aléatoires permet d'en- visager une marche aléatoire en 2 dimensions. Suivant la même idée, on déplace un pion dans le plan par « pas » suivant quatre directions possibles (équiprobables) : Nord, Sud, Ouest, Est, et on s'interroge sur le trajet suivi par le pion.
Première : approfondissements possibles
• Exemples de succession de plusieurs
épreuves indépendantes.
• Exemples de marches aléatoires.
Terminale :
• Variables aléatoires indépendantes
• Sommes de variables aléatoires. Approfondissements : marche aléatoire.
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Représenter graphiquement la marche aléatoire en 2D (on pourra utiliser le module turtle). Réalisé avec le logiciel Nspire CX II.
3. 4. 5.
Simuler la marche aléatoire dans l’environnement Python. On pourra noter (X;Y) les coordonnées du pion.
Autre approche : justifier que (X;Y) peut aussi être obtenu à partir de deux marches aléatoires (U;V) en dimension 1, indépendantes, de la manière suivante : X=(U+V)/2, Y=(U−V)/2.
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