繪製微分方程式

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繪製微分方程式

可以研究線性和非線性微分方程以及常微分方程組 (ODE)，包括對數模型和 Lotka-Volterra 方程式（捕食者-獵物模型）。也可以使用互動的尤拉 (Euler) 和朗奇-庫塔 (Runge-Kutta) 方法，以繪製斜率與方向欄位。

ODE 輸入列：

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y1 ODE 識別元

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運算式 k·y1 定義關係

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使用欄位 (1,1)指定初始條件

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按鈕用於新增初始條件及設定繪圖參數

游標用於更改 ODE 係數 k

斜率場

通過初始條件的解曲線

如要繪製微分方程式，請遵循以下步驟：

在圖形輸入/編輯功能表中選取微分方程式。

ODE 會自動指定識別元，例如：「y1.」

移動至關係欄位，然後輸入定義該關係的運算式。例如，輸入 -y1+0.1*y1*y2。

輸入獨立值 x0 和 y10 作為初始條件。

附註：問題中所有 ODE 的 x0 值是共用的，但只可在第一個 ODE 中進行輸入或修改。

如果要在目前 ODE 中研究多個初始條件，請按一下「新增初始條件」

按鈕，然後輸入條件。

按點「編輯參數」

以設定繪圖參數。選擇一種「數值解法」，然後設定任意其他參數。您可以隨時更改這些參數。

按一下確定。

若要輸入其他 ODE，請按向下箭號鍵以顯示下一個 ODE 編輯欄位。

在所定義 ODE 之間切換時，圖形會隨之更新。系統會針對為每個顯示的 ODE（由勾選方塊選取）所指定 IC繪製一個 ODE 解。

微分方程式設定摘要

「求解方法」

選取尤拉或朗奇-庫塔作為數值求解方法。

圖表步階間的迭代

僅適用於尤拉求解方法的計算精度。必須是整數值 >0。若要恢復預設值，請選取向下箭號鍵並選取預設值。

容錯

僅適用於朗奇-庫塔求解方法的計算精度。必須是浮點數值 |1×10-14。若要恢復預設值，請選取向下箭號鍵並選取預設值。

欄位

無 - 不繪製任何欄位。適用於任意個方程式的 ODE，但如果含有三個(含)以上的一階 ODE ，則為必要。（根據使用者設定的座標軸設定）繪製一個或一個以上 ODE 的解和/或值組合。

斜率 - 繪製欄位，其代表單一一階 ODE 的一組解。必須含恰有一個 ODE。設定座標軸為預設值 (x 和 y)。設定水平軸為 x（自變數）。設定垂直軸為 y（ODE 的解）。

方向 - 在相位平面中繪製一個欄位，代表兩個一階‑ODE 方程組解和/或值之間關係的欄位 (如自訂座標軸設定中所指定)。必須含恰有兩個 ODE。

座標軸

預設值 (x 及 y) - 在 x 軸及 y 軸上分別繪製 x 及 y (為使用中微分方程式的解)。

自訂 - 可選取欲分別在 x 及 y 軸上繪製的值。有效的輸入如下：

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x（自變數）

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y1、y2, 和定義於 ODE 編輯器中的任何識別元

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y1’、y2’、和定義於 ODE 編輯器中的任何導數

繪圖開始

設定解繪圖開始位置的自變數值。

繪圖結束

設定解繪圖停止位置的自變數值。

繪圖步階

設定自變數繪製值的增量。

欄位解析度

設定用以繪製斜率或方向欄位 (線段) 的元素欄位數。只有當欄位 = 方向或斜率時，才能更改此參數。

x 的方向欄位=

當繪製非自主方程式 (參照 x 的方程式) 時，設定繪製方向欄位處的自變數值。繪製自主方程式時會加以忽略。只有當欄位 = 方向時，才能更改此參數。