Page 15 - Activités algorithmiques avec Python en spécialité Mathématiques

Thème : fonctions
TI-83 Premium CE Edition Python
TI-82 Advanced Edition Python
Niveau : spécialité maths Première + Terminale
Comment (presque) résoudre une équation
L. DIDIER & R. CABANE
Comment (presque) résoudre une équation
Présentation et objectifs
Dans les programmes
Situation déclenchante
Première : exemple d’algorithme
Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Terminale : exemples d’algorithme
Méthode de dichotomie. Méthode de Newton, méthode de la sécante.
Imaginons qu’une fonction continue f ait été définie sur un intervalle D=[a;b], et que cette fonction 3
change de signe et s’y annule une fois. Par exemple, f (x)=x −x−0,5 sur l’intervalle D=[0,5 ; 1,3] . Comment faire pour s’informer sur le nombre x de D tel que f(x)=0? Mais que veulent dire « s’informer » ou « trouver x » ? Comment faut-il répondre ?
Pour une équation polynomiale de degré 2, la réponse est claire : on cherche une « expression » de x
discriminant positif. Pour d’autres équations (comme xln(x)=1) on ne trouve aucune « expression » bien que des solutions existent (théorème des valeurs intermédiaires). Faute de mieux, on cherche une approximation des solutions. Nous prendrons comme contexte une fonction f continue, croissante sur un intervalle [a;b], telle que f (a)<0<f (b).
faisant intervenir une racine carrée, tirée du modèle 2a pour une équation ax +bx+c=0 à
Buts à atteindre
2
−b+√b −4ac 2
Fig.1 - dichotomie
Fig. 2 - sécantes
Fig. 3 - Newton6
Suggestion : trois algorithmes étant en vue, on répartit le travail sur plusieurs groupes qui 3
compareront leurs résultats sur un exemple (ici : f telle que f(x)=x −x−0,5 sur[0,5 ; 1,3]). 1.Écrire une fonction Python approchant par dichotomie une solution de f (x )=0 avec une
précision p, à partir de la connaissance de f ,a,b.
2.Écrire une fonction Python faisant de même par la méthode des sécantes. 3.Écrire une fonction Python faisant de même par la méthode de Newton.
6
Figures réalisées avec le logiciel TI-Nspire CX
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