Arbejde med sammenhænge

Indtastningslinjen Grafer og  Geometri vises nederst i arbejdsområdet. Du kan bruge den til at angive flere forskrifter for hver af de forskellige graftyper. Standardgraftypen er Funktion, så formlen f1(x)= vises ved start.

Bemærk: Indtastningslinjen skjules automatisk, hvis du ikke indtaster eller redigerer forskrifter. For at vise eller skjule den til hver en tid skal du trykke på / G.

Graftegning af en forskrift

Arbejdsområdet og indtastningslinjen ændres til funktionstilstand. Skriv en forskrift for funktionen efter lighedstegnet.

Skriv koefficienterne i ligningsskabelonen.

Skriv udtrykkene for xn(t) og yn(t). Du kan frit ændre værdierne for t-min, t-max, og t-trin.

Skriv et udtryk for rn(q). Du kan frit ændre værdierne for q-minimum og q-maksimum og q-trin.

Arbejdsområdet og indtastningslinjen ændres til punktplottilstand. Klik på var for at vælge en variabel at plotte som x og y for sn. Du kan også skrive navnet på en variabel, der allerede eksisterer, eller definere en liste (skrevet som kommaseparerede elementer omsluttet af krøllede parenteser), for eksempel: {1,2,3}.

For at plotte en sekvensgraf som et web-plot eller et tidsplot skal du klikke på Sekvensi menuen Grafindtastning/Redigér og derefter klikke på Sekvens.

For at plotte et faseplot for en række af sekvenser skal du klikke på Sekvens i menuen Grafindtastning/Redigér og klikke på Brugerdefineret.

Arbejdsområdet og indtastningslinjen ændrer sig for at vise de nødvendige parametre for den markerede sekvenstilstand. Angiv de nødvendige parametre til plottypen. Med værktøjet Attributter kan du skifte mellem en sekvensgraf som tidsplot og som web-plot.

Når du trykker på · for at tegne grafen, skjuler Grafer og  Geometri indtastningslinjen og viser grafen uden andre elementer.

Når du har tegnet grafen f1(x) og viser indtastningslinjen igen, viser indtastningslinjen f2(x)=, så du kan indtaste en anden funktion. Hvis du markerer eller sporer en funktion, vises denne funktion i indtastningslinjen.

Når du tegner grafer for flere forskrifte på grafakserne, mærker Grafer og Geometri hver graf med et navn, medmindre Grafer og geometri-indstillingen "Skjul automatisk plotetiketter" er afkrydset. Du kan definere og tegne op til 99 funktioner af hver type. Du kan for eksempel bruge funktionstilstanden til at angive funktionerne (f1(x) - f99(x)). Du kan omdøbe funktioner med brugerdefinerede navne, for eksempel g1(x).

Visning af historikken for forskrifter

Med historikken for forskrifter kan du vise, redigere og slette forskrifter og grafer.

Historikken lagrer automatisk forskrifter, såsom funktioner fra f1 til f99 og sekvenser fra u1 til u99, for hver opgave. Forskrifterne kan defineres:

For at se historikken for forskrifter:

1.

Vis indtastningslinjen (/ G), og klik på knappen vis historik  til højre for linjen.

Historikken opfører forskrifterne på en liste i indtastningsrækkefølgen (top til bund).

Bemærk: Historikken viser også hver  grafs linjefarve samt knapper til at vise/skjule grafen og ændre visningsattributterne .

Bestemme punkter af interesse

Med værktøjerne i menuen Undersøg graf kan du finde et punkt af interesse i et angivet område af en funktionsgraf. Vælg et værktøj til at finde nulpunkter, minimum eller maksimum, skæringspunkter eller vendepunktet, differentialkvotienter (dy/dx) eller integraler. For grafer definerede som keglesnit kan du også finde brændpunkter, ledelinje og andre punkter af interesse.

Bemærk (CAS): Du kan også finde vendepunktet.

Ikonet for det markerede værktøj vises øverst til venstre i arbejdsområdet. Peg på ikonet for at se et værktøjstip om brugen af det markerede værktøj.

Når du udpeger grafen, bliver en punkteret linje vist til markering af den del af grafen, der skal afsøges for punktet af interesse.

Noter:

Bemærk: Du kan også skrive et tal, der skal bruges som den nedre grænse for søgeintervallet og trykke på ·.

Værktøjet skraverer området.

Hvis det angivne søgeinterval indeholder punktet af interesse, vises en etikette for punktet. Hvis du ændrer en graf med afmærkede punkter af interesse, skal du huske også at se efter ændringer af disse punkter. Hvis du for eksempel redigerer funktionen i indtastningslinjen eller manipulerer et plot, kan punktet, hvor grafen skærer x-aksen, ændre sig.

Du kan afslutte værktøjet ved at trykke på d eller vælge et andet værktøj. De afmærkede punkter af interesse er fortsat synlige på grafen.

Angivelse af en funktion med begrænsninger i definitionsmængden

Med indtastningslinjen eller applikationerne Beregninger og Noter kan du angive en funktion med begrænsninger i definitionsmængden. Til sammensatte begrænsninger i definitionsmængden for en funktion anvendes skabelonen for den stykvise funktion ( piecewise() ).

I følgende eksempel er der angivet en funktion med et domæne, der er mindre end 2 og større end -2 i indtastningslinjen:

Grafer og Geometri omformaterer forskriften i indtastningslinjen og tegner grafen:

Graftegning af en familie af funktioner

En familie af funktioner adskiller sig ved en eller flere parametre og kan angives ved én enkelt forskrift, der indeholder parameterlister. Sådan tegnes en familie af funktioner:

For eksempel angives fire funktioner med udtrykket:
f1(x) = {-1,0,1,2} * x + {2,4,6,8}.

Første funktion, der skal beregnes, er y = -1 * x + 2 og den anden er 0 * x + 4.

Grafer og Geometri opretter og viser en separat graf for hvert medlem af familien af funktioner.

Hver funktion er  navngivet (f1_1, f1_2) for at vise dens nummer i rækkefølgen af grafer. Du kan markere, analyse eller spore graferne for at undersøge dem.

Bemærk: Det er ikke muligt at redigere en almindelig funktionsgraf for at ændre den til en familie af funktioner.

Oprettelse af et tidsplot eller en web-plot

I graftegningstilstanden Sekvensgrafer kan du plotte et tidsplot eller web-plot fra indtastningslinjen.

I u1(n) feltet kan du for eksempel skrive udtrykket 2*u1(n‑1) + 1. Der kræves ikke indtastning af første led eller trinstørrelse i dette tilfælde.

Sekvensgrafen indeholder et punkt for hvert led i sekvensen.

Bemærk: Hvis du plotter en sekvens, og hvis den variabel, der anvendes til at angive den, senere ændres til en anden type (såsom til en funktion), slettes den plottede sekvens automatisk.

Håndholdt: Tryk på / b, og markér Grafsporing for at løbe igennem grafpunkterne og fremhæve værdierne i sekvensgrafen.

Oprettelse af et brugerdefineret plot som sekvensgraf

Med et brugerdefineret plot kan du vise en sammenhæng mellem to sekvenser ved at plotte den ene sekvens på x -aksen og den anden på y -aksen.

Når du definerer et brugerdefineret plot angiver du variabelnavnene på to definerede sekvenser (i applikationen Grafer og Geometri) og tildeler hver sekvens en akse. I dette afsnit demonstreres, hvordan du kan bruge en brugerdefineret sekvens og rovdyr-byttedyr-modellen fra biologi til at bestemme det antal kaniner og ræve, der opretholder ligevægten i populationerne.

kanin(n) = kanin(n-1) * (1 +,05-,001 * ræv(n-1))

ræv(n) = ræv(n-1) * (1 +,0002* kanin(n-1) -,03), hvor:

,05 = vækstraten for kaniner, hvis der ikke findes ræve,
,001 = hastigheden, hvormed ræve kan dræbe kaniner,
,0002 = vækstraten for ræve, hvis der findes kaniner,
,03 = dødsraten for ræve, hvis der ikke findes kaniner.

Bemærk: For at få et mindre  overlæsset billede, kan du vælge Skjul/Vis i menuen Handlinger for at skjule sekvensernekanin(n) og ræv(n) i arbejdsområdet.

Bemærk: Du kan også klikke på (eller trykke på h) for at vælge navnet på en tidligere defineret sekvens eller angive navnet på en ny sekvens, som du kan definere senere.

Bemærk: Klik på Zoom – Tilpasning i menuen Vindue/Zoom for at justere vinduesindstillingerne.

Når du trækker i startpunktet, ændres dets værdi, og de første led for kanin og ræv opdateres automatisk.

I dette eksempel demonstrerer en manipulation af startpunktet hørende til det første led, at ligevægtspunktet i kanin- og rævepopulationerne over en cyklus på 400 generationer = (150, 50).

Graftegning af differentialligninger

Du kan studere lineære og ikke-lineære differentialligninger og systemer af almindelige differentialligninger (ODE'er), inklusive logistiske modeller og Lotka-Volterra-ligninger (rovdyr-byttedyr-model). Du kan også plotte linjeelementer og retningsfelter med interaktiv anvendelse af Euler- og Runge-Kutta-metoder.

For at tegne løsningskurven hørende til en differentialligning

Indtastningslinjen viser et ODE-redigeringsfelt til definition af den næste tilgængelige ODE. ODE'en tildeles automatisk en afhængig variabel, såsom "y1".

Bemærk: Du kan indtaste et andet navn for den afhængige variabel til erstatning og derefter bruge dette navn i differentialligningen på den højre side af “=”-symbolet.

Noter:

4.

Hvis du ønsker at undersøge flere begyndelsesbetingelser for den aktuelle ODE, skal du klikke på knappen Tilføj startbetingelse og indtaste betingelserne.

5.

Klik på knappen Redigér parametre for at vise eller indstille plotparametre.

Når du trykker på · eller på pil op eller pil ned for at navigere mellem de ODE'er, du allerede har defineret, opdateres grafen for at vise ændringerne. Én løsning til ODE'en er tegnet for hver startbetingelse der er knyttet til den aktive ODE (valgt med et afkrydsningsfelt).

Oversigt over indstillinger for differentialligninger

Graftegning af keglesnit

Visningen Graftegning giver dig mulighed for at tegne og udforske lineære ligninger og andengradsligninger for keglesnit i et todimensionalt koordinatsystem. Du kan oprette og analysere linjer, cirkler, ellipser, parabler, hyperbler og generelle keglesnit.

Indtastningslinjen gør det enkelt at indtaste ligningen ved at vise en skabelon for typen af den ligning, som du vælger.

Eksempel: Udforskning af en ellipse

Indtastningslinjen viser skabelonen.

Bemærk: Keglesnittets type bestemmer, hvilke analyseværktøjer du kan bruge. I tilfælde af ellipsen kan du få adgang til dens centrum, toppunkter, brændpunkter, symmetriakser, ledelinjer, excentricitet og bredde parameter (latus rectum).

Brug af tekstværktøjet til at tegne ligninger

Du kan tegne en "x=" eller "y="-ligning ved at indtaste den i et tekstfelt og trække teksten til en akse.

Når du slipper teksten, tegner Grafer og  ligningen og tilføjer den til den øverste del af funktionshistorikken. Du kan redigere ligningen (du kan for eksempel ændre den til en ulighed), men du kan ikke skifte mellem x= and y=.

Graftegning af en trigonometrisk funktion

Graftegning af en lodret og vandret linje ud fra tekst

Efter du har plottet en linje, kan du trække for at parallelforskyde eller dreje den eller fastgøre den for at bruge den som en fastlåst referencelinje.

Graftegning af en ulighed ud fra tekst

Du kan tegne uligheder, der bruger operatorerne >, <, { eller |. Områder, der opfylder uligheden, bliver vist med skygge. Hvis skraverede områder af to eller flere uligheder overlapper, tones overlapningsområdet mørkere.

Bemærk: For at udtrykke { eller | kan du skrive <= eller >= eller vælge tegnet i Symbolpaletten.

Omdøbning af f(x)

Standardnavnet for funktioner er fn(x). (Indekset repræsenteret ved tallet n øges i takt med, at du angiver flere funktioner). Du kan udskifte standardnavnet med et navn efter eget valg.

Bemærk, at navnet ved siden af grafen er identisk med det, du har indtastet.

Bemærk: For at fortsætte med at anvende brugerdefineret navngivning skal du manuelt omdøbe hver ny funktion, når den indtastes.

Redigering af forskrifter

Indtastningslinjen for den markerede graftype vises.

Skjule en funktion i arbejdsområdet

Værktøjsikonet Skjul/vis bliver vist øverst i arbejdsområdet.

Objekter, du klikker på, mens værktøjet er aktivt, vises nedtonet.

Den skjulte funktion forsvinder. For at vise skjulte elementer igen skal du gentage disse trin.

Sletning af en funktion

Funktionen fjernes fra arbejdsområdet og fra listen med tegnede funktioner.

Manipulation af funktioner

Visse funktioner kan du parallelforskyde, strække og/eller dreje ved at gribe i grafen og manipulere den.

Markøren ændres for at vise en understøttet manipulation (for eksempel til õ, ö, eller é), hvis du holder markøren over en tegnet funktion, du kan gribe i og manipulere.

Når du ændrer grafen, opdateres ligningen for grafen for at afspejle ændringerne. Du kan manipulere følgende funktionstyper:

Manipulation af en lineær funktion

Manipulation af en kvadratisk funktion

Manipulation af en sinus- eller cosinussvingning

Bestemmelse af differentialkvotienten i et punkt (hældningen)

Denne metode benytter menuen Undersøg graf. Alternativt kan du oprette en tangent på grafen som hjælp til at visualisere hældningen og derefter anvende menuen Måling til at måle den.

Værdien af differentialkvotienten for det markerede punkt bliver vist på grafen.

Bemærk: Du kan bestemme differentialkvotienten af en specifik værdi af x eller y med kontekstmenuen for punktet for at vise dets koordinater og derefter redigere x -eller y-koordinaten.

Visning af funktionstabeller

Du kan vise en tabel med funktionsværdier for funktioner i den aktuelle opgave.

Under visning af tabellen kan du ændre indstillingerne for tabellen, slette kolonner, tilføje værdier for flere funktioner og redigere det udtryk, der definerer en funktion. For yderligere oplysninger henvises der til Brug af Lister og Regneark.

Visning af tabellen

Tabellen bliver vist med kolonner med værdier for de aktuelt definerede funktioner.

Øverst i hver kolonne kan du vælge den funktion, der skal vises i kolonnen.

Skjule tabellen