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Statistiques, régressions et distributions

v       % u

v vous permet de saisir et de modifier les listes de données. (Voir la section relative à l'éditeur de données.)

% u affiche le menu STAT-REG, qui comporte les options suivantes.

Remarques :

• Les régressions conservent les informations de régression, ainsi que les statistiques 2-Var des données, dans StatVars (1er élément de menu).
• Une régression peut être affectée à f(x) ou g(x). Les coefficients de régression s'affichent selon la précision maximale.

Remarque importante concernant les résultats : De nombreuses équations de régression ont en commun les mêmes variables a, b, c et d. Si vous calculez une régression, le calcul et les variables statistiques 2-Var des données correspondantes figurent dans le menu StatVars jusqu'au prochain calcul statistique ou de régression. Il convient d'interpréter les résultats en fonction du dernier type de calcul statistique ou du dernier calcul de régression effectué. Pour faciliter l'interprétation, la barre de titre vous rappelle le dernier calcul effectué.

1 : StatVars

Affiche un menu secondaire des dernières variables de résultats statistiques calculées. Utilisez $ et # pour repérer la variable désirée, puis appuyez sur < pour la sélectionner. Si vous sélectionnez cette option avant de calculer les variables de statistiques 1-Var stats, 2-Var stats, ou l'une des régressions, un rappel s'affiche à l'écran.

2 : 1-VAR STATS

Analyse les données statistiques à partir d'un ensemble de données avec une variable mesurée, x. Il est possible d'y inclure les données de fréquence.

3 : 2-VAR STATS

Analyse les données par paires de deux ensembles de données avec deux variables mesurées, x, la variable indépendante, et y, la variable dépendante. Il est possible d'y inclure les données de fréquence.

Remarque : 2-Var Stats permet par ailleurs de calculer une régression linéaire et remplit les résultats correspondants. Elle affiche les valeurs pour a (la pente) et b (ordonnée à l'origine), de même que les valeurs pour r2 et r.

4 : LinReg ax+b

Ajuste l'équation modèle y=ax+b aux données en utilisant la méthode des moindres carrés pour au moins deux points de données. Elle affiche les valeurs pour a (la pente) et b (ordonnée à l'origine), de même que les valeurs pour r2 et r.

5 : PropReg ax

Ajuste l'équation modèle y=ax aux données en utilisant la méthode des moindres carrés pour au moins un point de données. Elle affiche la valeur pour a. Prend en charge les données formant une droite verticale, à l'exception de toutes les données égales à 0.

6 : RecipReg a/x+b

Ajuste l'équation modèle y=a/x+b aux données en appliquant la méthode des moindres carrés aux données linéarisées pour au moins deux points de données. Elle affiche les valeurs pour a et b, de même que les valeurs pour r2 et r.

7 : QuadraticReg

Ajuste le polynôme du second degré y=ax2+bx+c aux données. Elle affiche les valeurs pour a, b et c, de même qu'une valeur pour R2. Pour trois points de données, l'équation correspond à un ajustement polynomial ; pour quatre points ou plus, il s'agit d'une régression polynomiale. Trois points de données au minimum sont nécessaires.

8 : CubicReg

Ajuste le polynôme du troisième degré y=ax3+bx2+cx+d aux données. Elle affiche les valeurs pour a, b, c et d, de même qu'une valeur pour R2. Pour quatre points de données, l'équation correspond à un ajustement polynomial ; pour cinq points ou plus, il s'agit d'une régression polynomiale. Quatre points au minimum sont nécessaires.

9 : LnReg a+blnx

Ajuste l'équation modèle y=a+b ln(x) aux données en appliquant la méthode des moindres carrés et les valeurs transformées ln(x) et y. Elle affiche les valeurs pour a et b, de même que les valeurs pour r2 et r.

  : PwrReg ax^b

Ajuste l'équation modèle y=axb aux données en appliquant la méthode des moindres carrés et les valeurs transformées ln(x) et ln(y). Elle affiche les valeurs pour a et b, de même que les valeurs pour r2 et r.

  : ExpReg ab^x

Ajuste l'équation modèle y=abx aux données en appliquant la méthode des moindres carrés et les valeurs transformées x et ln (y). Elle affiche les valeurs pour a et b, de même que les valeurs pour r2 et r.

  : expReg ae^(bx)

Ajuste l'équation modèle y=a e^(bx) aux données en appliquant la méthode des moindres carrés aux données linéarisées pour au moins deux points de données. Elle affiche les valeurs pour a et b, de même que les valeurs pour r2 et r.

% u " affiche le menu DISTR, qui comporte les fonctions de distribution suivantes :

1 : Normalpdf

Calcule la fonction de densité de probabilité (pdf) de la loi normale à la valeur x spécifiée. Par défaut, la moyenne mu=0 et l'écart type sigma=1. La fonction de densité de probabilité (pdf) est la suivante :

2 : Normalcdf

Calcule la probabilité pour la loi normale définie par les limites LOWERbnd et UPPERbnd pour la moyenne mu et l'écart type sigma indiqués. Les valeurs par défaut sont mu=0 ; sigma=1 ; avec les paramètres LOWERbnd = M1E99 et UPPERbnd = 1E99.

Remarque : M1E99 à 1E99 représente l'infini négatif M à l'infini positif.

3 : invNormal

Calcule la réciproque de la fonction de répartition pour une aire donnée avec la courbe de répartition normale spécifiée par la moyenne mu et l'écart type sigma. Elle calcule la valeur x associée à une aire située à gauche de la valeur x. 0 { aire { 1 doit être vrai. Les valeurs par défaut sont aire=1, mu=0 et sigma=1.

4 : Binomialpdf

Calcule la probabilité de x pour la loi binomiale discrète avec le nombre d'essais numtrials et la probabilité de réussite (p) pour chaque essai indiqués. x est un entier non négatif qui peut être spécifié avec les options d'entrée suivantes : SINGLE, LIST ou ALL (renvoi de la liste de probabilités de 0 au nombre d'essais numtrials). 0 { p { 1 doit être vrai. La fonction de densité de probabilité (pdf) est la suivante :

5 : Binomialcdf

Calcule la probabilité cumulée de x pour la loi binomiale discrète avec le nombre d'essais numtrials et la probabilité de réussite (p) pour chaque essai indiqués. x peut être un entier non négatif et spécifié avec les options d'entrée suivantes : SINGLE, LIST ou ALL (renvoi d'une liste de probabilités cumulées). 0 { p { 1 doit être vrai.

6 : Poissonpdf

Calcule la probabilité de x pour la loi de Poisson discrète avec la moyenne mu spécifiée (m), qui doit être un nombre réel > 0. x peut être un entier non négatif (SINGLE) ou une liste d'entiers (LIST). Le paramètre par défaut est mu=1. La fonction de densité de probabilité (pdf) est la suivante :

7 : Poissoncdf

Calcule la probabilité cumulée de x pour la loi de Poisson discrète avec la moyenne mu spécifiée, qui doit être un nombre réel > 0. x peut être un entier non négatif (SINGLE) ou une liste d'entiers (LIST). Le paramètre par défaut est mu=1.

Résultats statistiques

Variables

1-Var ou 2-Var

Définition

n

1-Var

Nombre de points de données x ou (x,y).

v

Les deux

Moyenne de toutes les valeurs x.

w

2-Var

Moyenne de toutes les valeurs y.

Sx

Les deux

Écart-type d'échantillon de x.

Sy

2-Var

Écart-type d'échantillon de y.

sx

Les deux

Écart-type de population de x.

sy

2-Var

Écart-type de population de y.

Gx ou Gx2

Les deux

Somme de toutes les valeurs x ou x2.

Gy ou Gy2

2-Var

Somme de toutes les valeurs y ou y2.

Gxy

2-Var

Somme de (xQy) pour toutes les paires xy.

a

2-Var

Pente de la droite de régression linéaire.

b

2-Var

Ordonnée à l'origine y de la régression linéaire.

r2 ou r

2-Var

Coefficient de corrélation.

x¢

2-Var

Utilise a et b pour calculer la valeur x prévue lorsque vous entrez une valeur y.

y¢

2-Var

Utilise a et b pour calculer la valeur y prévue lorsque vous entrez une valeur x.

minX ou maxX

Les deux

Minimum ou maximum des valeurs x.

Q1

1-Var

Valeur médiane des éléments compris entre minX et Med (1er quartile).

Med

1-Var

Valeur médiane de tous les points de données.

Q3

1-Var

Valeur médiane des éléments compris entre Med et maxX (3e quartile).

minY ou maxY

2-Var

Minimum ou maximum des valeurs y.

Pour définir les points de données statistiques :

1. Entrez les données dans L1, L2 ou L3. (Voir la section relative à l'éditeur de données.)

Remarque : Les éléments de fréquence non entiers sont valables. Ceci est pratique pour la saisie de fréquences exprimées sous forme de pourcentages ou de valeurs qui, une fois additionnées, sont égales à 1. Cependant, l'écart type d'échantillon, Sx, n'est pas défini pour les fréquences non entières, et le message Sx=Error s'affiche en regard de cette valeur. Toutes les autres statistiques sont affichées.

2. Appuyez sur % u. Sélectionnez 1-Var ou 2-Var, puis appuyez sur <.
3. Sélectionnez L1, L2 ou L3, puis la fréquence.
4. Appuyez sur < pour afficher le menu des variables.
5. Pour effacer des données, appuyez sur v v, sélectionnez la liste à effacer, puis appuyez sur <.

Exemple avec 1-Var

Calculez la moyenne de {45,55,55,55}.

Effacer toutes les données

v v $ $ $

Données

<

45 $ 55 $ 55 $ 55

<

Stat

% s

% u

 

2 (active 1-VAR STATS)

$ $

 

<

Stat Var

2 <

 

V 2 <

Exemple avec 2-Var

Données : (45,30); (55,25). Calculez : x¢(45).

Effacer toutes les données

v v $ $ $

Données

< 45 $ 55 $ " 30 $ 25 $

Stat

% u

 

3 (active 2-VAR STATS)

$ $ $

StatVars

< % s

% u 1

# # # # # #

 

< 45 ) <

³ Activité

À ses quatre derniers contrôles, Anthony a obtenu les notes suivantes. Les contrôles 2 et 4 avaient un coefficient de 0,5, tandis que les contrôles 1 et 3 avaient un coefficient de 1.

N° du test

1

2

3

4

Note

12

13

10

11

Coef. de pondération

1

0,5

1

0,5
1. Calculez la moyenne d'Anthony (moyenne pondérée).
2. Que représente la valeur n donnée par la calculatrice ? Que représente la valeur G donnée par la calculatrice ?

Rappel : La moyenne pondérée est égale à

3. Le professeur a donné à Anthony 4 points de plus au contrôle 4 suite à une erreur de notation. Calculez la nouvelle moyenne d'Anthony.

v v $ $ $

<

v " $ $ $ $

<

12 $ 13 $ 10 $ 11 $

" 1 $ .5 $ 1 $ .5

<

% u

2

$ " " <

<

Anthony a une moyenne (v) de 11,33 (note arrondie au centième le plus proche).

Sur la calculatrice, n représente la somme totale des coefficients de pondération.

n = 1 + 0.5 + 1 + 0.5.

Gx représente la somme pondérée des notes de l'élève.

(12)(1) + (13)(0.5) + (10)(1) + (11)(0.5) = 34.

Modifiez la dernière note d'Anthony de 11 à 15.

v $ $ $ 15 <

% u 2

$ " " < <

Si le professeur ajoute 4 points au 4e contrôle, la moyenne d'Anthony passe à 12.

³ Activité

Le tableau ci-dessous présente les résultats d'une série d'essais de freinage.

N° du test

1

2

3

4

Vitesse (km/h)

33

49

65

79

Distance de freinage (m)

5,30

14,45

20,21

38,45

En utilisant la relation entre la vitesse et la distance de freinage, calculez la distance de freinage nécessaire à un véhicule se déplaçant à 55 km/h.

Un nuage de points tracé à la main à partir de ces données suggère un relation linéaire. La calculatrice utilise la méthode des moindres carrés pour calculer la droite de régression, y'=ax'+b, à partir des données saisies dans les listes.

v v $ $ $

<

33 $ 49 $ 65 $ 79 $ " 5.3 $ 14.45 $ 20.21 $ 38.45 <

% s

% u

3 (active 2-VAR STATS)

$ $ $

<

Appuyez au besoin sur $ pour afficher a et b.

Cette droite de régression, y'=0.67732519x'N18.66637321 définit la forme de la tendance linéaire des données.

Appuyez sur $ jusqu'à ce que y' soit mis en surbrillance.

< 55 ) <

Le modèle linéaire estime la distance de freinage à 18,59 mètres pour un véhicule se déplaçant à 55 km/h.

Exemple de régression 1

Calculez une régression linéaire ax+b pour les données suivantes : {1,2,3,4,5} ; {5,8,11,14,17}.

Effacer toutes les données

v v $ $ $

Données

<

1 $ 2 $ 3 $ 4 $

5 $ "

5 $ 8 $ 11 $ 14 $ 17

<

Régression

% s

% u

$ $ $

 

<

 

$ $ $ $

<

Appuyez sur $ pour examiner toutes les variables du résultat.

Exemple de régression 2

Calculez la régression exponentielle pour les données suivantes :

• L1 = {0,1,2,3,4} ; L2 = {10,14,23,35,48}
• Calculez la valeur moyenne des données de L2.
• Comparez les valeurs de régression exponentielle pour L2.

Effacer toutes les données

v v 4

Données

0 $ 1 $ 2 $ 3 $ 4

$ " 10 $ 14 $ 23 $ 35 $ 48 <

Régression

% u

# #

Enregistrez l'équation de régression

dans f(x) via le menu I.

< $ $ $ "

<

Équation de régression

<

Calculez la valeur moyenne (y) des données de L2 à l'aide de StatVars.

% u

1 (active StatVars)

$ $ $

$ $ $

$ $

Notez que la barre de titre vous rappelle le dernier calcul de régression ou statistique effectué.

Examinez le tableau de valeurs de l'équation de régression.

I 1

 

< $

0 <

1 <

 

< <

Attention: Si vous appliquez à présent 2-Var Stats à vos données, les variables a et b (de même que r et r2) seront calculées sous forme de régression linéaire. N'appliquez plus 2-Var Stats après tout autre calcul de régression si vous souhaitez conserver vos coefficients de régression (a, b, c, d) et valeurs r pour un exercice précis dans le menu StatVars.

Exemple de distribution

Calculez la distribution pdf binomiale des valeurs x {3,6,9} avec 20 essais et une probabilité de réussite de 0,6. Entrez les valeurs x dans la liste L1, stockez les résultats dans L2, puis calculez la somme des probabilités et enregistrez-la dans la variable t.

Effacer toutes les données

v v $ $ $

Données

<

3 $ 6 $ 9

<

DISTR

% u "

$ $ $

 

< "

 

<

20 $ 0.6

 

< $ $

 

<

 

v ! 4 "

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