Tilastot, regressiot ja jakaumat

v       % u

v-näppäimellä voit syöttää ja muokata datalistoja. (Katso kappale Dataeditori.)

Näppäimet % u avaavat STAT-REG-valikon, joka sisältää seuraavat toiminnot.

Huomaa:

• Regressioista tallentuvat regression tiedot sekä datan kahden muuttujan tilastot StatVars-valikkoon (valikon kohta 1).
• Regression voi tallentaa joko riville f(x) tai g(x). Regressiokertoimet näkyvät täydellä tarkkuudella.

Vastauksia koskeva tärkeä huomautus: Monissa regressioyhtälöissä on samat muuttujat a, b, c ja d. Jos suoritat regressiolaskun, lasku ja kyseisen datan kahden muuttujan tilastot tallentuvat StatVars-valikkoon ja säilyvät tallessa seuraavaan tilasto- tai regressiolaskutoimitukseen saakka. Tuloksia on tulkittava viimeksi suoritetun tilasto- tai regressiolaskutoimituksen tyypin perusteella. Oikean tulkinnan helpottamiseksi otsikkorivillä on muistutus viimeksi suoritetusta laskusta.

1:StatVars

Avaa viimeksi laskettujen tilastotulosmuuttujien toisen valikon. Etsi haluamasi muuttuja näppäimillä $ ja # ja valitse se <-näppäimellä. Jos valitset tämän vaihtoehdon ennen yhden tai kahden muuttujan tilastojen tai minkään regressioyhtälön laskemista, näkyviin tulee muistutus.

2:1-VAR STATS

Analysoi tilastotietoja yhdestä datasarjasta, jossa on yksi mitattu muuttuja, x. Frekvenssitiedot voivat sisältyä analyysiin.

3:2-VAR STATS

Analysoi dataparin kahdesta datasarjasta, jossa on kaksi mitattua muuttujaa: riippumaton muuttuja x ja riippuva muuttuja y. Frekvenssitiedot voivat sisältyä analyysiin.

Huomaa: Kahden muuttujan tilastoissa lasketaan myös lineaarinen regressio ja annetaan lineaarisen regression tulokset. Näyttää a:n (kulmakerroin) ja b:n (y-akselin leikkauspiste) arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

4:LinReg ax+b

Sovittaa malliyhtälöä y=ax+b dataan käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää vähintään kahdessa datapisteessä. Näyttää a:n (kulmakerroin) ja b:n (y-akselin leikkauspiste) arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

5:PropReg ax

Sovittaa malliyhtälöä y=ax dataan käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää vähintään yhdessä datapisteessä. Näyttää a:n arvon. Tukee dataa, joka muodostaa pystyviivan, lukuun ottamatta kaikkea 0-dataa.

6:RecipReg a/x+b

Sovittaa lineaariseen dataan malliyhtälöä y=a/x+b käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää vähintään kahdessa datapisteessä. Näyttää a:n ja b:n arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

7:QuadraticReg

Sovittaa dataan toisen asteen polynomifunktiota y=ax2+bx+c. Näyttää a:n, b:n ja c:n arvot sekä R2:n arvon. Kolmessa datapisteessä yhtälö on polynominen. Jos pisteitä on neljä tai enemmän, se on polynomiregressio. Vähintään kolme datapistettä vaaditaan.

8:CubicReg

Sovittaa dataan kolmannen asteen polynomifunktiota y=ax3+bx2+cx+d. Näyttää a:n, b:n, c:n ja d:n arvot sekä R2:n arvon. Neljässä datapisteessä yhtälö on polynominen. Jos pisteitä on viisi tai enemmän, se on polynomiregressio. Vähintään neljä pistettä vaaditaan.

9:LnReg a+blnx

Sovittaa dataan malliyhtälöä y=a+b ln(x) käyttäen pienimmän nelisumman menetelmää ja transformoituja arvoja ln(x) ja y. Näyttää a:n ja b:n arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

  :PwrReg ax^b

Sovittaa dataan malliyhtälöä y=axb käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää ja transformoituja arvoja ln(x) ja ln(y). Näyttää a:n ja b:n arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

  :ExpReg ab^x

Sovittaa dataan malliyhtälöä y=abx käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää ja transformoituja arvoja x ja ln(y). Näyttää a:n ja b:n arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

  :expReg ae^(bx)

Sovittaa lineaariseen dataan malliyhtälöä y=a e^(bx) käyttäen pienimmän neliösumman menetelmää vähintään kahdessa datapisteessä. Näyttää a:n ja b:n arvot sekä r2:n ja r:n arvot.

Näppäimillä % u " avataan DISTR-valikko, joka sisältää seuraavat jakaumafunktiot:

1:Normalpdf

Laskee normaalijakauman tiheysfunktion (pdf) tietyllä x:n arvolla. Oletusarvot ovat keskiarvo mu=0 ja keskihajonta sigma=1. Todennäköisyysfunktio (pdf) on:

2:Normalcdf

Laskee normaalijakauman todennäköisyyden alarajan ja ylärajan välillä tietyllä keskiarvolla mu ja keskihajonnalla sigma. Oletusarvot ovat mu=0; sigma=1; alaraja = M1E99 ja yläraja = 1E99.

Huomaa: M1E99–1E99 tarkoittaa Määrettömästä äärettömään.

3:invNormal

Laskee normaalijakauman kertymäfunktion käänteisfunktion tietylle pinta-alalle keskiarvon mu ja keskihajonnan sigma määrittämän normaalijakauman käyrän alapuolella. Laskee x:n arvon, joka liittyy x:n arvosta vasemmalle olevaan alueeseen. 0 { area { 1 on oltava tosi. Oletusarvot ovat pinta-ala=1, mu=0 ja sigma=1.

4:Binomialpdf

Laskee binomijakauman todennäköisyysfunktion satunnaismuuttujan x arvon tietyllä toistojen määrällä numtrials ja onnistumistodennäköisyydellä (p) kullekin yritykselle. x on ei-negatiivinen kokonaisluku ja voidaan syöttää vaihtoehtoisesti YHTENÄ syötteenä, syötteiden LISTANA tai sisältäen KAIKKI syötteet (saadaan lista todennäköisyyksistä väliltä 0 ja numtrials). 0 { p { 1 on oltava tosi. Todennäköisyysfunktio (pdf) on:

5:Binomialcdf

Laskee binomijakauman kertymäfunktion satunnaismuuttujan x arvon tietyllä toistojen numtrials määrällä ja onnistumistodennäköisyydellä (p) kullekin yritykselle. x voi olla ei-negatiivinen kokonaisluku, joka voidaan syöttää YHTENÄ syötteenä, LISTANA tai KAIKKI (saadaan lista kumulatiivisista todennäköisyyksistä.) 0 { p { 1 on oltava tosi.

6:Poissonpdf

Laskee Poissonin jakauman satunnaismuuttujan x arvon tietyllä keskiarvolla mu (m), jonka on oltava reaaliluku > 0. x voi olla ei-negatiivinen kokonaisluku (YKSI) tai kokonaislukujen lista (LISTA). Oletusarvo on mu=1. Todennäköisyysfunktio (pdf) on:

7:Poissoncdf

Laskee Poissonin jakauman kertymäfunktion satunnaismuuttujan x arvon tietyllä keskiarvolla mu, jonka on oltava reaaliluku > 0. x voi olla ei-negatiivinen kokonaisluku (YKSI) tai kokonaislukujen lista (LISTA). Oletusarvo on mu=1.

Tilastotulokset

Muuttujat

1-Var tai 2-Var

Määritelmä

n

Kumpikin

x tai (x,y) datapisteiden määrä

v

Kumpikin

Kaikkien x:n arvojen keskiarvo

w

2-Var

Kaikkien y:n arvojen keskiarvo

Sx

Kumpikin

x:n otoksen keskihajonta

Sy

2-Var

y:n otoksen keskihajonta

sx

Kumpikin

x:n perusjoukon keskihajonta

sy

2-Var

y:n perusjoukon keskihajonta

Gx tai Gx2

Kumpikin

Kaikkien x:n tai x2:n arvojen summa

Gy tai Gy2

2-Var

Kaikkien y:n tai y2:n arvojen summa.

Gxy

2-Var

Summa (xQy) kaikista xy-pareista.

a

2-Var

Lineaarisen regression kulmakerroin

b

2-Var

Lineaarisen regression y-akselin leikkauspiste

r2 tai r

2-Var

Korrelaatiokerroin

x¢

2-Var

Laskee muuttujien a ja b avulla ennustetun x:n arvon annettaessa y:n arvo

y¢

2-Var

Laskee muuttujien a ja b avulla ennustetun y:n arvon annettaessa x:n arvo

minX tai maxX

Kumpikin

x:n arvojen minimi tai maksimi

Q1

1-Var

minX:n ja Med:n välisten elementtien keskiluku (1. kvartiili)

Med

1-Var

Kaikkien datapisteiden keskiluku

Q3

1-Var

Med:n ja maxX:n välisten elementtien keskiluku (3. kvartiili)

minY tai maxY

2-Var

y:n arvojen minimi tai maksimi

Tilastolliset datapisteet määritetään seuraavasti:

1. Lisää data kohtaan L1, L2 tai L3. (Katso kappale Dataeditori.)

Huomaa: Ei-kokonaislukuiset frekvenssielementit kelpaavat. Tästä on hyötyä syötettäessä prosentteina tai osuuksina ilmaistuja frekvenssejä, joiden yhteenlaskettu summa on 1. Otoksen keskihajonta, Sx, määritetään kuitenkin ei-kokonaislukuisina frekvensseinä, ja tämän arvon kohdalla näkyy viesti Sx=Error. Kaikki muut tilastot näytetään.

2. Paina näppäimiä % u. Valitse 1-Var tai 2-Var ja paina <-näppäintä.
3. Valitse L1, L2 tai L3 sekä frekvenssi.
4. Avaa muuttujien valikko painamalla <-näppäintä.
5. Voit tyhjentää datan näppäilemällä v v, valitsemalla tyhjennettävän listan ja painamalla <-näppäintä.

Yhden muuttujan esimerkki

Laske lukujen {45,55,55,55} keskiarvo.

Poista kaikki tiedot

v v $ $ $

Data

<

45 $ 55 $ 55 $ 55

<

Stat

% s

% u

 

2 (valitsee yhden muuttujan tilastot 1-VAR STATS)

$ $

 

<

Stat Var

2 <

 

V 2 <

Kahden muuttujan esimerkki

Data: (45,30); (55,25). Määritä: x¢(45).

Poista kaikki tiedot

v v $ $ $

Data

< 45 $ 55 $ " 30 $ 25 $

Stat

% u

 

3 (valitsee kahden muuttujan tilastot 2-VAR STATS)

$ $ $

StatVars

< % s

% u 1

# # # # # #

 

< 45 ) <

Tehtävä

Antti sai viimeisestä neljästä kokeesta seuraavat numerot. Kokeiden 2 ja 4 tuloksia painotettiin 0,5:llä ja kokeiden 1 ja 3 tuloksia 1:llä.

Kokeen nro

1

2

3

4

Koetulos

12

13

10

11

Painotusarvo

1

0,5

1

0,5
1. Laske Antin keskiarvo (painotettu keskiarvo).
2. Mitä laskimen antama arvo n tarkoittaa? Mitä laskimen antama arvo Gx tarkoittaa?

Muistutus: Painotettu keskiarvo on

3. Opettaja antoi Antille neljä lisäpistettä kokeesta 4 tekemänsä arvosteluvirheen vuoksi. Laske Antin uusi keskiarvo.

v v $ $ $

<

v " $ $ $ $

<

12 $ 13 $ 10 $ 11 $

" 1 $ .5 $ 1 $ .5

<

% u

2

$ " " <

<

Antin keskiarvo (v) on 11.33 (pyöristettynä lähimpään sadasosaan).

Laskimessa näkyvä n tarkoittaa painotusten kokonaissummaa.

n = 1 + 0.5 + 1 + 0.5.

Gx tarkoittaa Antin koetulosten painotettua summaa.

(12)(1) + (13)(0.5) + (10)(1) + (11)(0.5) = 34.

Muuta Antin viimeinen koetulos 11 pisteestä 15 pisteeseen.

v $ $ $ 15 <

% u 2

$ " " < <

Jos opettaja lisää neljä pistettä kokeeseen 4, Antin keskiarvo on 12.

Tehtävä

Alla olevassa taulukossa on esitetty jarrutuskokeen tulokset.

Kokeen nro

1

2

3

4

Nopeus (km/h)

33

49

65

79

Jarrutusmatka (m)

5.30

14.45

20.21

38.45

Määritä nopeuden ja jarrutusmatkan välisen suhteen perusteella 55 kilometrin tuntinopeudella kulkevan ajoneuvon vaatima jarrutusmatka.

Näistä datapisteistä käsin piirretty kaavio osoittaa, että suhde on lineaarinen. Laskin määrittää parhaan vastaavuussuoran, y'=ax'+b, listoihin syötetylle datalle pienimmän neliösumman menetelmällä.

v v $ $ $

<

33 $ 49 $ 65 $ 79 $ " 5.3 $ 14.45 $ 20.21 $ 38.45 <

% s

% u

3 (valitsee kahden muuttujan tilastot 2-VAR STATS)

$ $ $

<

Paina tarpeen mukaan näppäintä $, jotta näet a:n ja b:n arvon.

Tämä parhaan vastaavuuden suora, y'=0.67732519x'N18.66637321, mallintaa datan lineaarisen trendin.

Paina näppäintä $, kunnes y' näkyy korostuneena.

< 55 ) <

Lineaarisesta mallista 55 kilometrin tuntinopeudella kulkevan ajoneuvon arvioiduksi jarrutusmatkaksi saadaan 18,59 metriä.

Regressioesimerkki 1

Laske lineaarinen regressio ax+b seuraavalle datalle: {1,2,3,4,5}; {5,8,11,14,17}.

Poista kaikki tiedot

v v $ $ $

Data

<

1 $ 2 $ 3 $ 4 $

5 $ "

5 $ 8 $ 11 $ 14 $ 17

<

Regressio

% s

% u

$ $ $

 

<

 

$ $ $ $

<

Tutki kaikkia vastausmuuttujia näppäimellä $.

Regressioesimerkki 2

Laske eksponentiaalinen regressio seuraavalle datalle:

• L1 = {0,1,2,3,4}; L2 = {10,14,23,35,48}
• Määritä datan keskiarvo listasta L2.
• Vertaa eksponentiaalisen regression arvoja listaan L2.

Poista kaikki tiedot

v v 4

Data

0 $ 1 $ 2 $ 3 $ 4

$ " 10 $ 14 $ 23 $ 35 $ 48 <

Regressio

% u

# #

Tallenna regressioyhtälö

I-valikon kohtaan f(x).

< $ $ $ "

<

Regressioyhtälö

<

Määritä listan L2 datan keskiarvo (y) tilastomuuttujien (StatVars) avulla.

% u

1 (valitsee tilastomuuttujat StatVars)

$ $ $

$ $ $

$ $

Huomaa, että otsikkorivillä muistutetaan viimeisimmästä tilasto- tai regressiolaskusta.

Tutki regressioyhtälön arvotaulukkoa.

I 1

 

< $

0 <

1 <

 

< <

Varoitus: Jos lasket nyt datalle kahden muuttujan tilastot (2-Var Stats), muuttujat a ja b (sekä r ja r2) lasketaan lineaarisena regressiona. Älä laske uudelleen kahden muuttujan tilastoja (2-Var Stats) minkään toisen regressiolaskun jälkeen, jos haluat säilyttää kyseisen tehtävän regressiokertoimet (a, b, c, d) ja r:n arvot StatVars-valikossa.

Jakaumaesimerkki

Laske binomijakauma pdf x:n arvoissa {3,6,9} kokeiden määrällä 20 ja onnistumistodennäköisyydellä 0.6. Syötä x:n arvot listaan L1, tallenna vastaukset listaan L2 ja laske sen jälkeen todennäköisyyksien summa ja tallenna muuttuja t.

Poista kaikki tiedot

v v $ $ $

Data

<

3 $ 6 $ 9

<

DISTR

% u "

$ $ $

 

< "

 

<

20 $ 0.6

 

< $ $

 

<

 

v ! 4 "

<

 

<

" " " "

< <