Education Technology

F5n – Recherche d’une somme minimale

Publié le 11/19/2011

Présentation de l’activité

Deux gouttières sont issues de deux sommets A et B d’un rectangle et se rejoignent en un point M pour atteindre verticalement le point H situé sur le sol figuré par le côté [CD] du rectangle. Quel est le point M du rectangle qui minimise la somme AM + BM + MH ?
Ce thème figure dans l’un des sujets proposés pour l’épreuve pratique expérimentale de janvier 2007.

Objectives

Objectifs :
Observer, via l’éditeur de géométrie, le comportement d’une somme de distances. Émettre des conjectures. Mettre en place une démonstration géométrique. Exprimer la somme des distances en fonction d’une seule distance variable et étudier, via l’éditeur de calcul formel, les variations de cette fonction. Exécuter une construction géométrique de la solution. Changer de registre mathématique pour faire les démonstrations.

About the Lesson

Le fichier F5n_SommeMini_CAS.pdf décrit la conduite de l’activité. Il est accompagné du fichier F5nProf_SommeMini_CAS.tns, solution du fichier élève.
Le thème abordé, qui utilise le déplacement d’un point à l’intérieur d’un rectangle, permet, à partir d’une figure simple, d’aborder un problème assez difficile. On peut rapidement, avec les possibilités du logiciel de géométrie dynamique, entrevoir l’existence d’un point solution et conjecturer sa position approximative.
Les démonstrations faites dans deux registres bien distincts, la géométrie pure avec l’inégalité triangulaire et l’analyse avec l’étude du sens de variations d’une fonction irrationnelle, font la richesse de cette activité. La puissance du calcul formel permet de se concentrer sur l’essentiel.

Le fichier élève est entièrement rédigé. Il peut donc être proposé pour un travail individuel et complété par l’élève au fur et à mesure de la séance.