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Autour de l’épreuve 2 du CAPES 2009 : le théorème de Lucas

Publié le 09/25/2009

Présentation de l’activité

L’épreuve 2 du CAPES 2009 a pour objectif la démonstration de quelques propriétés intéressantes des racines du polynôme dérivé d’un polynôme complexe : ces dernières sont dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine et occupent dans le plan complexe une position géométrique particulièrement remarquable dans le cas où le polynôme d’origine est de degré 3. L’activité propose une étude assistée par calculatrice des thèmes principaux développés dans cette épreuve.

Before the Activity

Préparer l’épreuve écrite du CAPES. Utiliser le module de calcul formel de la calculatrice pour résoudre un problème. En approfondissement, utiliser le module de géométrie pour construire une figure d’étude ou une figure de synthèse.

Pendant l’activité

Le fichier ep2_2009.pdf présente une partie de l’énoncé de l’épreuve d’écrit, suivie d’éléments de correction. Le fichier ep2_2009.tns contient plusieurs pages d’activités commentées, liées aux différentes phases de résolution du problème. Le fichier thlucas.tns illustre un raffinement du théorème de Lucas dans le cas d’un polynôme de degré 3, objet de la partie D de l’épreuve. Il permet d’associer à un polynôme de degré 3 le triangle dont les sommets ont pour affixes les racines de ce polynôme, puis d’inscrire dans ce triangle l’ellipse tangente aux côtés en leur milieu.