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Conjectures en arithmétique

Publié le 06/12/2009

Présentation de l’activité

Deux exercices de Spécialité sont proposés. D’une part, déterminer des entiers n tels que : n^2 – 3 n +1 soit divisible par 5. D’autre part, déterminer le PGCD de 2n + 5 et de 3n – 1, suivant les valeurs de n.

Before the Activity

Faire émerger des conjectures dans la résolution de problèmes d'arithmétique.

Pendant l’activité

Ces deux exercices peuvent être proposés au début du cours d'arithmétique du programme de Terminale S spécialité mathématique. Ils donneront, pour l’exercice 1, une première idée de ce que sont les congruences et, pour l’exercice 2, une possibilité de réinvestir directement ce que l'élève doit savoir sur le PGCD. La rapidité de calcul permet de réaliser des tests sur un grand nombre de valeurs. Dans bien des cas, les conjectures proposées permettent de résoudre le problème. C'est donc cette possibilité de voir les nombres, au sens propre du terme, qui va guider l'élève dans la résolution du problème. Deux caractéristiques du calcul formel vont être utilisées dans ces questions d'arithmétique : - le calcul formel donne la valeur exacte des rationnels sous la forme d’une fraction irréductible, ainsi le caractère entier ou non d'un tel nombre va pouvoir être mis en évidence ; - une autre caractéristique du calcul formel est la possibilité de pouvoir réaliser des calculs littéraux ; ainsi la calculatrice est capable de remplacer par exemple n par un entier de la forme 5k + 2.