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Suites récurrentes imbriquées

Publié le 06/12/2009

Présentation de l’activité

Soit a et b deux suites définies par a0 = 2 et b0 = 4 et pour tout entier naturel n, a(n + 1) = (a(n) + 3b(n))/4 et b(n + 1) = (3a(n) + b(n))/4. On se propose d’établir les formules donnant directement a(n) et b(n) en fonction de n, en utilisant deux suites auxiliaires.

Before the Activity

Apprendre à définir et à utiliser des suites auxiliaires.

Pendant l’activité

Les exercices sur les suites imbriquées sont la plupart du temps très guidés, les calculs sont longs et les conjectures pratiquement impossibles à mettre en place. Ainsi les énoncés fournissent de façon traditionnelle les deux suites auxiliaires à mettre en œuvre pour aboutir aux expressions de a(n) et b(n) en fonction de n. En effet, le calcul des premiers termes de la suite ne fait pas découvrir de méthode pertinente permettant de déterminer a(n) et b(n). Le calcul formel autorise à prendre des valeurs génériques pour les premiers termes de chaque suite. On bloque, en quelque sorte, les calculs et on voit apparaître des caractéristiques communes aux termes a1 et b1 , a2 et b2 , a3 et b3 . Les suites auxiliaires à considérer émergent alors de façon beaucoup moins artificielle.